Номер 46.30, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

46.30. а) $y = \sqrt{(x - 5)(15 - x)};$

б) $y = \sqrt{(2x + 4)(3 - x)};$

в) $y = \sqrt{(12 - x)(x - 4)};$

г) $y = \sqrt{(5 - x)(3x + 6)}.$

а) $y = \sqrt{(x - 5)(15 - x)}$
Область определения функции находится из условия неотрицательности подкоренного выражения: $(x - 5)(15 - x) \ge 0$. Решая это неравенство, получаем область определения: $x \in [5, 15]$.
Рассмотрим подкоренную функцию $f(x) = (x - 5)(15 - x) = -x^2 + 20x - 75$. Так как функция $g(t)=\sqrt{t}$ является возрастающей, то наибольшее и наименьшее значения функции $y$ будут достигаться при наибольшем и наименьшем значениях функции $f(x)$ соответственно.
График $f(x)$ — парабола с ветвями вниз. Ее наименьшее значение на отрезке $[5, 15]$ (между корнями) достигается на концах отрезка. При $x=5$ и $x=15$, $f(x)=0$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{5 + 15}{2} = 10$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(10) = (10 - 5)(15 - 10) = 5 \cdot 5 = 25$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 5.

б) $y = \sqrt{(2x + 4)(3 - x)}$
Область определения функции задается неравенством $(2x + 4)(3 - x) \ge 0$. Корни сомножителей: $x=-2$ и $x=3$. Так как это парабола с ветвями вниз, неравенство выполняется на отрезке $x \in [-2, 3]$.
Подкоренная функция $f(x) = (2x + 4)(3 - x) = -2x^2 + 2x + 12$.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке $[-2, 3]$ достигается на его концах и равно 0. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(\frac{1}{2}) = (2 \cdot \frac{1}{2} + 4)(3 - \frac{1}{2}) = (1 + 4)(2.5) = 5 \cdot 2.5 = 12.5$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

в) $y = \sqrt{(12 - x)(x - 4)}$
Область определения функции: $(12 - x)(x - 4) \ge 0$, что выполняется при $x \in [4, 12]$.
Подкоренная функция $f(x) = (12 - x)(x - 4) = -x^2 + 16x - 48$ является параболой с ветвями вниз.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке $[4, 12]$ равно 0 (на концах отрезка). Значит, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{4 + 12}{2} = 8$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(8) = (12 - 8)(8 - 4) = 4 \cdot 4 = 16$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 4.

г) $y = \sqrt{(5 - x)(3x + 6)}$
Область определения функции: $(5 - x)(3x + 6) \ge 0$. Корни: $x=5$ и $x=-2$. Так как это парабола с ветвями вниз, решение неравенства: $x \in [-2, 5]$.
Подкоренная функция $f(x) = (5 - x)(3x + 6) = -3x^2 + 9x + 30$.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке $[-2, 5]$ равно 0 (на концах отрезка). Значит, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(1.5) = (5 - 1.5)(3 \cdot 1.5 + 6) = (3.5)(4.5 + 6) = 3.5 \cdot 10.5 = 36.75$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{36.75} = \sqrt{\frac{147}{4}} = \frac{\sqrt{49 \cdot 3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\frac{7\sqrt{3}}{2}$.