Номер 46.34, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.34. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = 2|x| - 4;$

б) $y = x^2 - 5|x| + 6;$

в) $y = 3|x| + 9;$

г) $y = x^2 - 6|x| - 7.$

а) Дана функция $y = 2|x| - 4$. Выражение $|x|$ (модуль $x$) по определению всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принимать $|x|$, равно 0, и это происходит при $x=0$. Функция $y$ достигает своего наименьшего значения, когда слагаемое $2|x|$ принимает наименьшее значение. Наименьшее значение $2|x|$ равно $2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $y_{min} = 0 - 4 = -4$. Ответ: -4

б) Дана функция $y = x^2 - 5|x| + 6$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать функцию, выразив ее через $|x|$: $y = |x|^2 - 5|x| + 6$. Для нахождения наименьшего значения введем новую переменную $t = |x|$. По определению модуля, $t \ge 0$. Тогда функция примет вид $y(t) = t^2 - 5t + 6$, где $t \ge 0$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше 0). Наименьшее значение такая парабола принимает в своей вершине. Найдем координату вершины $t_0$: $t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$. Так как $t_0 = 2.5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$, наименьшее значение функции $y(t)$ достигается именно в этой точке. Вычислим это значение, подставив $t_0 = 2.5$ в уравнение для $y(t)$: $y_{min} = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$. Ответ: -0.25

в) Дана функция $y = 3|x| + 9$. Выражение $|x|$ всегда неотрицательно, $|x| \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=0$. Функция $y$ является суммой слагаемого $3|x|$ и константы 9. Она достигает своего наименьшего значения, когда слагаемое $3|x|$ минимально. Наименьшее значение $3|x|$ равно $3 \cdot 0 = 0$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = 0 + 9 = 9$. Ответ: 9

г) Дана функция $y = x^2 - 6|x| - 7$. Используем тождество $x^2 = |x|^2$, чтобы переписать функцию: $y = |x|^2 - 6|x| - 7$. Введем замену переменной $t = |x|$, где $t \ge 0$. Функция принимает вид $y(t) = t^2 - 6t - 7$ при $t \ge 0$. Графиком этой функции является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Ее наименьшее значение находится в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$. Поскольку $t_0 = 3$ удовлетворяет условию $t \ge 0$, то наименьшее значение функции достигается в этой точке. Подставим $t_0 = 3$ в уравнение для $y(t)$, чтобы найти минимальное значение: $y_{min} = 3^2 - 6(3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$. Ответ: -16