Номер 46.33, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.33. а) $y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$;

б) $y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{5 - x^2} + \sqrt{x}$, исследуем ее на области определения.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 5 - x^2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства имеем $x^2 \le 5$, что означает $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$.

Учитывая второе неравенство $x \ge 0$, получаем общую область определения функции: $D(y) = [0; \sqrt{5}]$.

2. Производная функции.

Найдем производную функции $y$ по $x$ для поиска критических точек:

$y' = (\sqrt{5 - x^2} + \sqrt{x})' = \frac{(5 - x^2)'}{2\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x}{2\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки на интервале $(0, \sqrt{5})$:

$-\frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}}$

Поскольку на рассматриваемом интервале обе части уравнения положительны, мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{1}{4x} = \frac{x^2}{5 - x^2}$

$5 - x^2 = 4x \cdot x^2 \implies 4x^3 + x^2 - 5 = 0$.

Пробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-5). Подходит $x=1$:

$4(1)^3 + (1)^2 - 5 = 4 + 1 - 5 = 0$.

Разделив многочлен $4x^3 + x^2 - 5$ на $(x-1)$, получим $(x-1)(4x^2 + 5x + 5) = 0$.

Для квадратного трехчлена $4x^2 + 5x + 5$ дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 25 - 80 = -55 < 0$, поэтому других действительных корней нет.

Таким образом, единственная критическая точка в области определения — $x=1$.

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений.

Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\sqrt{5}$:

$y(0) = \sqrt{5 - 0^2} + \sqrt{0} = \sqrt{5}$.

$y(1) = \sqrt{5 - 1^2} + \sqrt{1} = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$.

$y(\sqrt{5}) = \sqrt{5 - (\sqrt{5})^2} + \sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt{5-5} + \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5}$.

Сравним полученные значения: $3 \approx 3$, $\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt[4]{5} \approx 1.495$.

Очевидно, что $3$ — наибольшее значение, а $\sqrt[4]{5}$ — наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$, наименьшее значение функции $y_{min} = \sqrt[4]{5}$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{-x} + \sqrt{5 - x^2}$, исследуем ее на области определения.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:

$\begin{cases} -x \ge 0 \\ 5 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le 0$. Из второго неравенства $x^2 \le 5$, что означает $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$.

Объединяя эти условия, получаем область определения функции: $D(y) = [-\sqrt{5}; 0]$.

2. Производная функции.

Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (\sqrt{-x} + \sqrt{5 - x^2})' = \frac{(-x)'}{2\sqrt{-x}} + \frac{(5 - x^2)'}{2\sqrt{5 - x^2}} = \frac{-1}{2\sqrt{-x}} + \frac{-2x}{2\sqrt{5 - x^2}} = -\frac{1}{2\sqrt{-x}} - \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}}$.

3. Критические точки.

Приравняем производную к нулю на интервале $(-\sqrt{5}, 0)$:

$-\frac{1}{2\sqrt{-x}} - \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{-x}} = -\frac{x}{\sqrt{5 - x^2}}$

На интервале $(-\sqrt{5}, 0)$ переменная $x$ отрицательна, поэтому обе части уравнения положительны. Возведем их в квадрат:

$\frac{1}{4(-x)} = \frac{(-x)^2}{5 - x^2} \implies \frac{1}{-4x} = \frac{x^2}{5 - x^2}$

$5 - x^2 = -4x \cdot x^2 \implies 4x^3 - x^2 + 5 = 0$.

Подбором находим корень $x=-1$:

$4(-1)^3 - (-1)^2 + 5 = -4 - 1 + 5 = 0$.

Разделив многочлен $4x^3 - x^2 + 5$ на $(x+1)$, получим $(x+1)(4x^2 - 5x + 5) = 0$.

Дискриминант квадратного трехчлена $4x^2 - 5x + 5$ равен $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 25 - 80 = -55 < 0$, поэтому других действительных корней нет.

Единственная критическая точка в области определения — $x=-1$.

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений.

Вычислим значения функции в критической точке $x=-1$ и на концах отрезка $x=-\sqrt{5}$ и $x=0$:

$y(-\sqrt{5}) = \sqrt{-(-\sqrt{5})} + \sqrt{5 - (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{\sqrt{5}} + \sqrt{0} = \sqrt[4]{5}$.

$y(-1) = \sqrt{-(-1)} + \sqrt{5 - (-1)^2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.

$y(0) = \sqrt{-0} + \sqrt{5 - 0^2} = 0 + \sqrt{5} = \sqrt{5}$.

Сравнивая значения $\sqrt[4]{5}$, $3$ и $\sqrt{5}$, получаем, что $3$ — наибольшее значение, а $\sqrt[4]{5}$ — наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$, наименьшее значение функции $y_{min} = \sqrt[4]{5}$.