Номер 46.32, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.32. a) $y = -x^8 + 2x^4 + 1;$

б) $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}.$

а) $y = -x^8 + 2x^4 + 1$

Для нахождения наибольшего значения данной функции можно заметить, что она является биквадратной. Это позволяет упростить задачу с помощью замены переменной.

Пусть $t = x^4$. Поскольку $x^4$ не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

После замены функция примет вид: $f(t) = -t^2 + 2t + 1$.

Эта функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $t^2$ отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Значение $t_0 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, оно является точкой максимума для функции $f(t)$ на ее области определения.

Теперь найдем наибольшее значение функции, подставив $t_0=1$ в $f(t)$:

$y_{max} = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

Это значение достигается в точках $x$, для которых $x^4 = t_0 = 1$, то есть при $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: 2

б) $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}$

Для нахождения наибольшего значения функции исследуем ее с помощью производной.

1. Найдем первую производную функции $y(x)$:

$y' = (-x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3})' = -4x^3 + \frac{4}{3} \cdot 3x^2 = -4x^3 + 4x^2$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies -4x^3 + 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$-4x^2(x - 1) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

3. Определим характер критических точек, исследовав знак производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Знак производной $y' = -4x^2(x - 1)$ зависит от знака множителя $(x - 1)$, так как множитель $-4x^2$ всегда неположителен (равен нулю только в точке $x=0$).

Если $x < 1$ (и $x \ne 0$), то $(x-1) < 0$, и $y' = (-4x^2)(x-1)$ имеет знак $(-) \cdot (-) = (+)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$.

Если $x > 1$, то $(x-1) > 0$, и $y' = (-4x^2)(x-1)$ имеет знак $(-) \cdot (+) = (-)$. Функция убывает на интервале $(1, +\infty)$.

При переходе через точку $x=1$ знак производной меняется с «+» на «?», следовательно, $x=1$ является точкой максимума. В точке $x=0$ знак производной не меняется, поэтому она не является точкой экстремума.

Старший член функции $-x^4$ показывает, что при $x \to \pm\infty$, $y \to -\infty$. Таким образом, найденный локальный максимум является глобальным (наибольшим) значением функции.

4. Вычислим наибольшее значение функции, подставив $x=1$ в ее исходное выражение:

$y_{max} = y(1) = -(1)^4 + \frac{4}{3}(1)^3 + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4+2}{3} = -1 + \frac{6}{3} = -1 + 2 = 1$.

Ответ: 1