Номер 46.26, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.26. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции:

а) $y = x^4 - 2x^2 - 6$ на отрезке $[-2; 2];$

б) $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 2].$

а)

Для нахождения суммы наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^4 - 2x^2 - 6$ на отрезке $[-2; 2]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Производная функции $y(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^4 - 2x^2 - 6)' = 4x^3 - 4x$.

2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех $x$.
Приравняем производную к нулю:
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-2; 2]$.
Все три точки ($0$, $1$, $-1$) принадлежат данному отрезку.

4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 - 6 = 16 - 2 \cdot 4 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2$
$y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 6 = 1 - 2 \cdot 1 - 6 = 1 - 2 - 6 = -7$
$y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 - 6 = -6$
$y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 - 6 = 1 - 2 - 6 = -7$
$y(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^2 - 6 = 16 - 2 \cdot 4 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2$

5. Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 2$.
Наименьшее значение функции $y_{наим.} = -7$.

6. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений:
$y_{наиб.} + y_{наим.} = 2 + (-7) = -5$.

Ответ: -5.

б)

Для нахождения суммы наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 2]$, проделаем аналогичные действия:

1. Найти производную функции:
$y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-1; 2]$.
Обе точки ($0$ и $2$) принадлежат данному отрезку.

4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Заметим, что точка $x=2$ является и критической, и концом отрезка.
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 \cdot 1 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$
$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$
$y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 3 \cdot 4 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$

5. Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 2$.
Наименьшее значение функции $y_{наим.} = -2$.

6. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений:
$y_{наиб.} + y_{наим.} = 2 + (-2) = 0$.

Ответ: 0.