Номер 46.28, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.28. a) $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{9 - x}$;

б) $y = 3\sqrt{x + 1} + \sqrt{-x}$;

В) $y = \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x}$;

Г) $y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x}$.

а) Для нахождения множества значений функции $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{9 - x}$ исследуем ее на всей области определения.
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x - 5 \geq 0 \implies x \geq 5$
$9 - x \geq 0 \implies x \leq 9$
Таким образом, ОДЗ функции есть отрезок $D(y) = [5, 9]$.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на этом отрезке, найдем ее производную:
$y' = (\sqrt{x - 5} + \sqrt{9 - x})' = \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} \cdot (x-5)' + \frac{1}{2\sqrt{9 - x}} \cdot (9-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} - \frac{1}{2\sqrt{9 - x}}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} = \frac{1}{2\sqrt{9 - x}}$
$\sqrt{x - 5} = \sqrt{9 - x}$
Возведя обе части в квадрат, получим:
$x - 5 = 9 - x \implies 2x = 14 \implies x = 7$.
Критическая точка $x = 7$ принадлежит области определения $[5, 9]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(5) = \sqrt{5 - 5} + \sqrt{9 - 5} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 2$.
$y(9) = \sqrt{9 - 5} + \sqrt{9 - 9} = \sqrt{4} + \sqrt{0} = 2$.
$y(7) = \sqrt{7 - 5} + \sqrt{9 - 7} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Сравнивая полученные значения, находим, что $y_{min} = 2$ и $y_{max} = 2\sqrt{2}$.
Так как функция непрерывна на отрезке $[5, 9]$, ее множество значений — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $E(y) = [2, 2\sqrt{2}]$.

б) Для функции $y = 3\sqrt{x + 1} + \sqrt{-x}$ найдем множество значений.
Область определения (ОДЗ):
$x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$
$-x \geq 0 \implies x \leq 0$
Следовательно, $D(y) = [-1, 0]$.
Найдем производную функции:
$y' = (3\sqrt{x + 1} + \sqrt{-x})' = \frac{3}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{3}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \implies 3\sqrt{-x} = \sqrt{x + 1}$.
Возводим в квадрат: $9(-x) = x + 1 \implies -9x = x + 1 \implies -10x = 1 \implies x = -0.1$.
Эта точка принадлежит ОДЗ $[-1, 0]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(-1) = 3\sqrt{-1 + 1} + \sqrt{-(-1)} = 3\sqrt{0} + \sqrt{1} = 1$.
$y(0) = 3\sqrt{0 + 1} + \sqrt{-0} = 3\sqrt{1} + 0 = 3$.
$y(-0.1) = 3\sqrt{-0.1 + 1} + \sqrt{-(-0.1)} = 3\sqrt{0.9} + \sqrt{0.1} = 3\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{9+1}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$.
Сравниваем значения $1$, $3$ и $\sqrt{10}$. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, то $1 < 3 < \sqrt{10}$.
Следовательно, $y_{min} = 1$ и $y_{max} = \sqrt{10}$.
Ответ: $E(y) = [1, \sqrt{10}]$.

в) Для функции $y = \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x}$ найдем множество значений.
Область определения (ОДЗ):
$10 - 2x \geq 0 \implies 2x \leq 10 \implies x \leq 5$
$3x \geq 0 \implies x \geq 0$
Следовательно, $D(y) = [0, 5]$.
Найдем производную функции:
$y' = (\sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x})' = \frac{-2}{2\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2\sqrt{3x}} = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2\sqrt{3x}}$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{3}{2\sqrt{3x}} = \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} \implies 3\sqrt{10 - 2x} = 2\sqrt{3x}$.
Возводим в квадрат: $9(10 - 2x) = 4(3x) \implies 90 - 18x = 12x \implies 90 = 30x \implies x = 3$.
Точка $x = 3$ принадлежит ОДЗ $[0, 5]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(0) = \sqrt{10 - 0} + \sqrt{0} = \sqrt{10}$.
$y(5) = \sqrt{10 - 2 \cdot 5} + \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{0} + \sqrt{15} = \sqrt{15}$.
$y(3) = \sqrt{10 - 2 \cdot 3} + \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.
Сравниваем значения $\sqrt{10}$, $\sqrt{15}$ и $5$. Так как $5 = \sqrt{25}$, имеем $\sqrt{10} < \sqrt{15} < 5$.
Следовательно, $y_{min} = \sqrt{10}$ и $y_{max} = 5$.
Ответ: $E(y) = [\sqrt{10}, 5]$.

г) Для функции $y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x}$ найдем множество значений.
Область определения (ОДЗ):
$8 - 3x \geq 0 \implies 3x \leq 8 \implies x \leq 8/3$
$x \geq 0$
Следовательно, $D(y) = [0, 8/3]$.
Найдем производную функции:
$y' = (\sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x})' = \frac{-3}{2\sqrt{8 - 3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} \implies \sqrt{8 - 3x} = 3\sqrt{x}$.
Возводим в квадрат: $8 - 3x = 9x \implies 8 = 12x \implies x = 8/12 = 2/3$.
Точка $x = 2/3$ принадлежит ОДЗ $[0, 8/3]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(0) = \sqrt{8 - 0} + \sqrt{0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$y(8/3) = \sqrt{8 - 3 \cdot (8/3)} + \sqrt{8/3} = \sqrt{0} + \sqrt{8/3} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
$y(2/3) = \sqrt{8 - 3 \cdot (2/3)} + \sqrt{2/3} = \sqrt{8 - 2} + \sqrt{2/3} = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Сравним значения $2\sqrt{2}$, $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ и $\frac{4\sqrt{6}}{3}$. Возведем их в квадрат: $(2\sqrt{2})^2=8$; $(\frac{2\sqrt{6}}{3})^2=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$; $(\frac{4\sqrt{6}}{3})^2=\frac{96}{9}=\frac{32}{3}$.
Так как $\frac{8}{3} < 8 < \frac{32}{3}$, то $\frac{2\sqrt{6}}{3} < 2\sqrt{2} < \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Следовательно, $y_{min} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ и $y_{max} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $E(y) = [\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}]$.