Номер 46.27, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения:

46.27.

а) Для нахождения значения аргумента, при котором функция $y = \sqrt{(x - 1)(10 - x)}$ достигает наибольшего значения, необходимо найти точку максимума подкоренного выражения $f(x) = (x - 1)(10 - x)$, поскольку функция квадратного корня является монотонно возрастающей на своей области определения.
Раскроем скобки в выражении для $f(x)$: $f(x) = 10x - x^2 - 10 + x = -x^2 + 11x - 10$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), следовательно, ветви параболы направлены вниз, и функция достигает своего наибольшего значения в вершине.
Абсциссу вершины параболы можно найти как среднее арифметическое её корней. Корни уравнения $(x - 1)(10 - x) = 0$ — это $x_1 = 1$ и $x_2 = 10$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{1 + 10}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$.
Это значение принадлежит области определения функции, которая задается неравенством $(x - 1)(10 - x) \ge 0$, то есть $x \in [1, 10]$.
Ответ: $5,5$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x + 2)(4 - x)}$. Её наибольшее значение достигается при том же значении $x$, что и наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = (x + 2)(4 - x)$.
$f(x) = 4x - x^2 + 8 - 2x = -x^2 + 2x + 8$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Найдём корни уравнения $(x + 2)(4 - x) = 0$: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Это значение принадлежит области определения функции $x \in [-2, 4]$.
Ответ: $1$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(2x - 6)(7 - x)}$. Её наибольшее значение достигается при том же значении $x$, что и наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = (2x - 6)(7 - x)$.
$f(x) = 14x - 2x^2 - 42 + 6x = -2x^2 + 20x - 42$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Найдём корни уравнения $(2x - 6)(7 - x) = 0$. Из $2x-6=0$ получаем $x_1=3$, из $7-x=0$ получаем $x_2=7$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Это значение принадлежит области определения функции $x \in [3, 7]$.
Ответ: $5$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(5 - x)(x - 3)}$. Её наибольшее значение достигается при том же значении $x$, что и наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = (5 - x)(x - 3)$.
$f(x) = 5x - 15 - x^2 + 3x = -x^2 + 8x - 15$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Найдём корни уравнения $(5 - x)(x - 3) = 0$: $x_1 = 5$ и $x_2 = 3$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Это значение принадлежит области определения функции $x \in [3, 5]$.
Ответ: $4$.