Номер 46.22, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.22. a) $y = \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x, [-\pi; 0];$

б) $y = \cos^2 0.5x \cdot \cos x, [0; \pi].$

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x$ на отрезке $[-\pi; 0]$, мы выполним следующие шаги: найдем производную функции, определим критические точки, вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем сравним полученные значения.

1. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$y = \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x = \frac{1 - \cos x}{2} \cdot \sin x = \frac{1}{2}(\sin x - \sin x \cos x)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получим $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$y = \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{4}\sin(2x)$

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{4}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{4} \cdot 2\cos(2x) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos(2x))$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow \cos x - \cos(2x) = 0 \Rightarrow \cos x = \cos(2x)$

Это равенство выполняется в двух случаях:

$2x = x + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = -x + 2\pi k \Rightarrow 3x = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\pi; 0]$:

Из первой серии решений $x=2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=0$, что принадлежит отрезку.

Из второй серии решений $x=\frac{2\pi k}{3}$: при $k=0$ получаем $x=0$; при $k=-1$ получаем $x=-\frac{2\pi}{3}$, что принадлежит отрезку. Другие целые значения $k$ дают точки за пределами отрезка.

Таким образом, на данном отрезке имеем критические точки $x=0$ и $x=-\frac{2\pi}{3}$.

5. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-\pi$, $x=0$ и в критической точке $x=-\frac{2\pi}{3}$:

$y(-\pi) = \sin^2\left(\frac{-\pi}{2}\right) \cdot \sin(-\pi) = (-1)^2 \cdot 0 = 0$

$y(0) = \sin^2\left(\frac{0}{2}\right) \cdot \sin(0) = 0^2 \cdot 0 = 0$

$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \sin^2\left(\frac{-2\pi/3}{2}\right) \cdot \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$

6. Сравнивая полученные значения $0$ и $-\frac{3\sqrt{3}}{8}$, находим наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение функции на отрезке $[-\pi; 0]$ равно 0.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-\pi; 0]$ равно $-\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \cos^2(0,5x) \cdot \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$, поступим аналогично предыдущему пункту.

1. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$y = \cos^2(0,5x) \cdot \cos x = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos x = \frac{1 + \cos x}{2} \cdot \cos x = \frac{1}{2}(\cos x + \cos^2 x)$

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{1}{2}(\cos x + \cos^2 x)\right)' = \frac{1}{2}(-\sin x + 2\cos x \cdot (-\sin x)) = -\frac{1}{2}(\sin x + 2\sin x \cos x)$

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

$y' = -\frac{1}{2}(\sin x + \sin(2x))$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow \sin x + \sin(2x) = 0 \Rightarrow \sin x + 2\sin x \cos x = 0 \Rightarrow \sin x(1 + 2\cos x) = 0$

Это равенство распадается на два уравнения:

$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$1 + 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$:

Из первой серии решений $x=\pi k$: при $k=0$ получаем $x=0$; при $k=1$ получаем $x=\pi$. Обе точки принадлежат отрезку.

Из второй серии решений $x=\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=\frac{2\pi}{3}$ и $x=-\frac{2\pi}{3}$. Отрезку $[0; \pi]$ принадлежит только $x=\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, на данном отрезке имеем критические точки $x=0$, $x=\frac{2\pi}{3}$ и $x=\pi$.

5. Вычислим значения функции в этих точках (точки $x=0$ и $x=\pi$ являются также и концами отрезка):

$y(0) = \cos^2(0) \cdot \cos(0) = 1^2 \cdot 1 = 1$

$y(\pi) = \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos(\pi) = 0^2 \cdot (-1) = 0$

$y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8}$

6. Сравнивая полученные значения $1$, $0$ и $-\frac{1}{8}$, находим наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно 1.

Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $-\frac{1}{8}$.

Ответ: $y_{наиб} = 1$, $y_{наим} = -\frac{1}{8}$.