Страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

46.16. а) $y = (2x - 1)^2(x - 2)$, $[-1; 2]$

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 2x - 1}$, $[0; 2]$

в) $y = (x + 4)(3x + 1)^2$, $[-2; -\frac{1}{2}]$

г) $y = \frac{5x^3}{x^2 - 9}$, $[-1; 1]$

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = (2x - 1)^2(x - 2)$ на промежутке $[-1; 2]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
$y' = ((2x - 1)^2)'(x - 2) + (2x - 1)^2(x - 2)'$
$y' = 2(2x - 1) \cdot 2 \cdot (x - 2) + (2x - 1)^2 \cdot 1$
$y' = 4(2x - 1)(x - 2) + (2x - 1)^2$
Вынесем общий множитель $(2x - 1)$:
$y' = (2x - 1)(4(x - 2) + (2x - 1)) = (2x - 1)(4x - 8 + 2x - 1) = (2x - 1)(6x - 9) = 3(2x - 1)(2x - 3)$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$3(2x - 1)(2x - 3) = 0$
$2x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
$2x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$

3. Обе критические точки, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3}{2}$, принадлежат заданному промежутку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка.
$y(-1) = (2(-1) - 1)^2(-1 - 2) = (-3)^2(-3) = 9 \cdot (-3) = -27$
$y(\frac{1}{2}) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^2(\frac{1}{2} - 2) = (1 - 1)^2(-\frac{3}{2}) = 0$
$y(\frac{3}{2}) = (2 \cdot \frac{3}{2} - 1)^2(\frac{3}{2} - 2) = (3 - 1)^2(-\frac{1}{2}) = 2^2(-\frac{1}{2}) = -2$
$y(2) = (2 \cdot 2 - 1)^2(2 - 2) = 3^2 \cdot 0 = 0$

5. Сравниваем полученные значения: $\{-27, 0, -2, 0\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = -27$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 0$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -27$, наибольшее значение функции $y_{max} = 0$.

б) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{x^2}{x^2 - 2x - 1}$ на промежутке $[0; 2]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$y' = \frac{(x^2)'(x^2 - 2x - 1) - x^2(x^2 - 2x - 1)'}{(x^2 - 2x - 1)^2}$
$y' = \frac{2x(x^2 - 2x - 1) - x^2(2x - 2)}{(x^2 - 2x - 1)^2}$
$y' = \frac{2x^3 - 4x^2 - 2x - 2x^3 + 2x^2}{(x^2 - 2x - 1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x}{(x^2 - 2x - 1)^2} = \frac{-2x(x + 1)}{(x^2 - 2x - 1)^2}$

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$-2x(x + 1) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Точки, в которых производная не существует, соответствуют нулям знаменателя: $x^2 - 2x - 1 = 0$, $x = 1 \pm \sqrt{2}$.

3. Из всех найденных точек только $x = 0$ принадлежит промежутку $[0; 2]$. Точка $x=-1$ не принадлежит. Точки $1 \pm \sqrt{2}$ также не принадлежат отрезку $[0; 2]$ ($1-\sqrt{2} < 0$, $1+\sqrt{2} > 2$).

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на другом конце промежутка $x=2$.
$y(0) = \frac{0^2}{0^2 - 2 \cdot 0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$
$y(2) = \frac{2^2}{2^2 - 2 \cdot 2 - 1} = \frac{4}{4 - 4 - 1} = -4$

5. Сравниваем полученные значения: $\{0, -4\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = -4$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 0$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -4$, наибольшее значение функции $y_{max} = 0$.

в) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = (x + 4)(3x + 1)^2$ на промежутке $[-2; -\frac{1}{2}]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной произведения.
$y' = (x + 4)'(3x + 1)^2 + (x + 4)((3x + 1)^2)'$
$y' = 1 \cdot (3x + 1)^2 + (x + 4) \cdot 2(3x + 1) \cdot 3$
$y' = (3x + 1)^2 + 6(x + 4)(3x + 1)$
Вынесем общий множитель $(3x + 1)$:
$y' = (3x + 1)((3x + 1) + 6(x + 4)) = (3x + 1)(3x + 1 + 6x + 24) = (3x + 1)(9x + 25)$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$(3x + 1)(9x + 25) = 0$
$3x + 1 = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{3}$
$9x + 25 = 0 \implies x_2 = -\frac{25}{9}$

3. Проверяем принадлежность критических точек промежутку $[-2; -0.5]$.
$x_1 = -\frac{1}{3} \approx -0.33$, что не входит в промежуток $[-2; -0.5]$.
$x_2 = -\frac{25}{9} \approx -2.78$, что не входит в промежуток $[-2; -0.5]$.
Так как на интервале $(-2; -0.5)$ критических точек нет, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка.

4. Вычисляем значения функции на концах промежутка.
$y(-2) = (-2 + 4)(3(-2) + 1)^2 = 2(-6 + 1)^2 = 2(-5)^2 = 2 \cdot 25 = 50$
$y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2} + 4)(3(-\frac{1}{2}) + 1)^2 = (\frac{7}{2})(-\frac{3}{2} + 1)^2 = \frac{7}{2}(-\frac{1}{2})^2 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{8}$

5. Сравниваем полученные значения: $\{50, \frac{7}{8}\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = \frac{7}{8}$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 50$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = \frac{7}{8}$, наибольшее значение функции $y_{max} = 50$.

г) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{5x^3}{x^2 - 9}$ на промежутке $[-1; 1]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной частного.
$y' = \frac{(5x^3)'(x^2 - 9) - 5x^3(x^2 - 9)'}{(x^2 - 9)^2}$
$y' = \frac{15x^2(x^2 - 9) - 5x^3(2x)}{(x^2 - 9)^2}$
$y' = \frac{15x^4 - 135x^2 - 10x^4}{(x^2 - 9)^2} = \frac{5x^4 - 135x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{5x^2(x^2 - 27)}{(x^2 - 9)^2}$

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$5x^2(x^2 - 27) = 0$
$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
$x^2 = 27 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$

3. Проверяем принадлежность критических точек промежутку $[-1; 1]$.
Только $x = 0$ принадлежит этому промежутку. Точки $x = \pm 3\sqrt{3}$ не принадлежат, так как $|\pm 3\sqrt{3}| > 1$.
Функция определена на всем промежутке $[-1; 1]$, так как точки разрыва $x = \pm 3$ в него не входят.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах промежутка.
$y(-1) = \frac{5(-1)^3}{(-1)^2 - 9} = \frac{-5}{1 - 9} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$
$y(0) = \frac{5 \cdot 0^3}{0^2 - 9} = 0$
$y(1) = \frac{5 \cdot 1^3}{1^2 - 9} = \frac{5}{1 - 9} = \frac{5}{-8} = -\frac{5}{8}$

5. Сравниваем полученные значения: $\{\frac{5}{8}, 0, -\frac{5}{8}\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = -\frac{5}{8}$.
Наибольшее значение: $y_{max} = \frac{5}{8}$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -\frac{5}{8}$, наибольшее значение функции $y_{max} = \frac{5}{8}$.

46.17. a) $y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$, $[-3; 0];$

б) $y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 9$, $[0; 4];$

в) $y = 4x^3 - 21x^2 + 36x - 2$, $[1; 2];$

г) $y = 0,25x^4 - 2\frac{1}{3}x^3 + 3,5$, $[-1; 2].$

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$ на отрезке $[-3; 0]$ используется стандартный алгоритм.
Первый шаг — нахождение производной функции:
$y' = (x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21)' = 4x^3 + 24x^2 + 48x + 32$.
Далее, находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 + 24x^2 + 48x + 32 = 0$
Разделив на 4, получаем: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 0$.
Левая часть уравнения является формулой куба суммы: $(x+2)^3 = 0$.
Отсюда, единственная критическая точка функции: $x = -2$.
Эта точка принадлежит заданному отрезку $[-3; 0]$.
Теперь вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:
$y(-3) = (-3)^4 + 8(-3)^3 + 24(-3)^2 + 32(-3) + 21 = 81 - 216 + 216 - 96 + 21 = 6$.
$y(-2) = (-2)^4 + 8(-2)^3 + 24(-2)^2 + 32(-2) + 21 = 16 - 64 + 96 - 64 + 21 = 5$.
$y(0) = 0^4 + 8(0)^3 + 24(0)^2 + 32(0) + 21 = 21$.
Сравнивая полученные значения ($5, 6, 21$), заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно 5, а наибольшее — 21.
Ответ: наименьшее значение функции 5, наибольшее значение 21.

б) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 9$ на отрезке $[0; 4]$.
1. Найдем производную функции:
$y' = (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 9)' = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y'=0$:
$4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 0$
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$
Это формула куба разности: $(x-1)^3 = 0$.
Единственная критическая точка: $x=1$.
3. Точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.
4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:
$y(0) = 0 - 0 + 0 - 0 - 9 = -9$.
$y(1) = 1^4 - 4(1)^3 + 6(1)^2 - 4(1) - 9 = 1 - 4 + 6 - 4 - 9 = -10$.
$y(4) = 4^4 - 4(4)^3 + 6(4)^2 - 4(4) - 9 = 256 - 256 + 96 - 16 - 9 = 71$.
5. Сравнивая значения ($-10, -9, 71$), находим, что наименьшее значение равно -10, а наибольшее — 71.
Ответ: наименьшее значение функции -10, наибольшее значение 71.

в) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = 4x^3 - 21x^2 + 36x - 2$ на отрезке $[1; 2]$.
1. Найдем производную функции:
$y' = (4x^3 - 21x^2 + 36x - 2)' = 12x^2 - 42x + 36$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y'=0$:
$12x^2 - 42x + 36 = 0$
$2x^2 - 7x + 6 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$ и $x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
3. Обе критические точки, $x=1.5$ и $x=2$, принадлежат отрезку $[1; 2]$ (точка $x=2$ является его правым концом).
4. Вычислим значения функции в точке $x=1.5$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=2$:
$y(1) = 4(1)^3 - 21(1)^2 + 36(1) - 2 = 4 - 21 + 36 - 2 = 17$.
$y(1.5) = 4(1.5)^3 - 21(1.5)^2 + 36(1.5) - 2 = 4(3.375) - 21(2.25) + 54 - 2 = 13.5 - 47.25 + 52 = 18.25$.
$y(2) = 4(2)^3 - 21(2)^2 + 36(2) - 2 = 32 - 84 + 72 - 2 = 18$.
5. Сравнивая значения ($17, 18.25, 18$), получаем, что наименьшее значение равно 17, а наибольшее — 18.25.
Ответ: наименьшее значение функции 17, наибольшее значение 18,25.

г) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = 0.25x^4 - 2\frac{1}{3}x^3 + 3.5$ на отрезке $[-1; 2]$.
Для удобства представим коэффициенты в виде обыкновенных дробей: $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{7}{3}x^3 + \frac{7}{2}$.
1. Найдем производную:
$y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{7}{3}x^3 + \frac{7}{2})' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{7}{3} \cdot 3x^2 = x^3 - 7x^2$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y'=0$:
$x^3 - 7x^2 = 0$
$x^2(x - 7) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
3. Отрезку $[-1; 2]$ принадлежит только точка $x=0$. Точка $x=7$ не принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$:
$y(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{7}{3}(-1)^3 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{3} + \frac{7}{2} = \frac{3 + 28 + 42}{12} = \frac{73}{12}$.
$y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{7}{3}(0)^3 + \frac{7}{2} = \frac{7}{2}$.
$y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{7}{3}(2)^3 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4}(16) - \frac{7}{3}(8) + \frac{7}{2} = 4 - \frac{56}{3} + \frac{7}{2} = \frac{24 - 112 + 21}{6} = -\frac{67}{6}$.
5. Сравним полученные значения. Для этого приведем их к общему знаменателю 12:
$y(-1) = \frac{73}{12}$
$y(0) = \frac{7}{2} = \frac{42}{12}$
$y(2) = -\frac{67}{6} = -\frac{134}{12}$
Наименьшее значение — $-\frac{134}{12}$ (то есть $-\frac{67}{6}$), а наибольшее — $\frac{73}{12}$.
Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{67}{6}$, наибольшее значение $\frac{73}{12}$.

46.18. a) $y = x^2 - 5|x| + 6$, [0; 4];

б) $y = x^2 - 5|x| + 6$, [-5; 0];

в) $y = x^2 + 8|x| + 7$, [1; 5];

г) $y = x^2 + 8|x| + 7$, [-8; -2].

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 - 5|x| + 6$ на отрезке $[0; 4]$, сначала раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 5x + 6$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$.
Так как $2.5 \in [0; 4]$, то наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке: $y_{min} = y(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
Наибольшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=4$: $y(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$.
$y(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2$.
Сравнивая полученные значения, находим наибольшее: $y_{max} = 6$.
Ответ: $y_{min} = -0.25$, $y_{max} = 6$.

б) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 - 5|x| + 6$ на отрезке $[-5; 0]$, раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x \le 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 5(-x) + 6 = x^2 + 5x + 6$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$.
Так как $-2.5 \in [-5; 0]$, то наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке: $y_{min} = y(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-5$ и $x=0$: $y(-5) = (-5)^2 + 5(-5) + 6 = 25 - 25 + 6 = 6$.
$y(0) = 0^2 + 5(0) + 6 = 6$.
Наибольшее значение равно $6$.
Ответ: $y_{min} = -0.25$, $y_{max} = 6$.

в) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[1; 5]$, раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 8x + 7$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.
Вершина параболы $x_v = -4$ не принадлежит отрезку $[1; 5]$. Так как ветви параболы направлены вверх, на отрезке $[1; 5]$, расположенном правее вершины, функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
$y_{min} = y(1) = 1^2 + 8(1) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16$.
$y_{max} = y(5) = 5^2 + 8(5) + 7 = 25 + 40 + 7 = 72$.
Ответ: $y_{min} = 16$, $y_{max} = 72$.

г) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[-8; -2]$, раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 8(-x) + 7 = x^2 - 8x + 7$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
Вершина параболы $x_v = 4$ не принадлежит отрезку $[-8; -2]$. Так как ветви параболы направлены вверх, на отрезке $[-8; -2]$, расположенном левее вершины, функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
$y_{max} = y(-8) = (-8)^2 - 8(-8) + 7 = 64 + 64 + 7 = 135$.
$y_{min} = y(-2) = (-2)^2 - 8(-2) + 7 = 4 + 16 + 7 = 27$.
Ответ: $y_{min} = 27$, $y_{max} = 135$.

46.19. а) $y = x^3 - 2x|x - 2|$, $[-1; 3];$

б) $y = 3x|x + 1| - x^3$, $[-1; 2].$

а)

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 - 2x|x - 2|$ на отрезке $[-1; 3]$.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $x-2$ меняет знак в точке $x=2$. Эта точка принадлежит заданному отрезку $[-1; 3]$, поэтому рассмотрим функцию на двух промежутках: $[-1; 2]$ и $[2; 3]$.

1. При $x \in [-1; 2]$, имеем $x - 2 \le 0$, следовательно $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Функция принимает вид: $y = x^3 - 2x(2 - x) = x^3 - 4x + 2x^2 = x^3 + 2x^2 - 4x$. Найдём производную этой функции: $y' = (x^3 + 2x^2 - 4x)' = 3x^2 + 4x - 4$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $3x^2 + 4x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$. $x_1 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$. $x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Точка $x_1 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Точка $x_2 = 2/3$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$ (и промежутку $[-1; 2]$), поэтому это критическая точка.

2. При $x \in [2; 3]$, имеем $x - 2 \ge 0$, следовательно $|x - 2| = x - 2$. Функция принимает вид: $y = x^3 - 2x(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 4x$. Найдём производную: $y' = (x^3 - 2x^2 + 4x)' = 3x^2 - 4x + 4$. Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 4x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32 < 0$. Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и на этом промежутке стационарных точек нет.

3. Точка $x=2$ является точкой "стыка" двух частей функции, в которой производная может не существовать (и действительно не существует, так как односторонние производные не равны). Поэтому $x=2$ также является критической точкой.

4. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[-1; 3]$ необходимо вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах. Точки для проверки: $x = -1$ (конец отрезка), $x = 2/3$ (критическая точка), $x = 2$ (критическая точка), $x = 3$ (конец отрезка). Вычисляем значения функции $y$: При $x = -1$ (используем формулу для $x \le 2$): $y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 4(-1) = -1 + 2 + 4 = 5$. При $x = 2/3$ (используем формулу для $x \le 2$): $y(2/3) = (2/3)^3 + 2(2/3)^2 - 4(2/3) = 8/27 + 2(4/9) - 8/3 = 8/27 + 24/27 - 72/27 = -40/27$. При $x = 2$: $y(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 \cdot |2 - 2| = 8 - 0 = 8$. При $x = 3$ (используем формулу для $x \ge 2$): $y(3) = 3^3 - 2(3^2) + 4(3) = 27 - 18 + 12 = 21$.

5. Сравниваем полученные значения: $5$, $-40/27$, $8$, $21$. Наибольшее значение функции на отрезке: $y_{max} = 21$. Наименьшее значение функции на отрезке: $y_{min} = -40/27$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $21$, наименьшее значение функции равно $-40/27$.

б)

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = 3x|x + 1| - x^3$ на отрезке $[-1; 2]$.

Раскроем модуль. Выражение под модулем $x+1$ меняет знак в точке $x=-1$. На заданном отрезке $[-1; 2]$ выполняется условие $x \ge -1$, следовательно $x+1 \ge 0$ и $|x+1| = x+1$. Таким образом, на всем отрезке $[-1; 2]$ функция имеет вид: $y = 3x(x + 1) - x^3 = 3x^2 + 3x - x^3$. Запишем в стандартном виде: $y = -x^3 + 3x^2 + 3x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке найдём производную функции и приравняем её к нулю для поиска критических точек. $y' = (-x^3 + 3x^2 + 3x)' = -3x^2 + 6x + 3$. Решим уравнение $y' = 0$: $-3x^2 + 6x + 3 = 0$. Разделим обе части на $-3$: $x^2 - 2x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Получаем две стационарные точки: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим, принадлежат ли эти точки отрезку $[-1; 2]$. $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1; 2]$. $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Теперь вычислим значения функции в найденной критической точке $x = 1 - \sqrt{2}$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$. При $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) = 1 + 3(1) - 3 = 1$. При $x = 2$: $y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2) = -8 + 3(4) + 6 = -8 + 12 + 6 = 10$. При $x = 1 - \sqrt{2}$: $y(1 - \sqrt{2}) = -(1 - \sqrt{2})^3 + 3(1 - \sqrt{2})^2 + 3(1 - \sqrt{2})$. Чтобы упростить вычисления, воспользуемся тем, что в этой точке $x^2 - 2x - 1 = 0$, откуда $x^2 = 2x+1$. $y = -x^3 + 3x^2 + 3x = -x(x^2) + 3x^2 + 3x = -x(2x+1) + 3(2x+1) + 3x = -2x^2 - x + 6x + 3 + 3x = -2x^2 + 8x + 3$. Снова подставим $x^2 = 2x+1$: $y = -2(2x+1) + 8x + 3 = -4x - 2 + 8x + 3 = 4x + 1$. Теперь подставим значение $x = 1 - \sqrt{2}$: $y(1 - \sqrt{2}) = 4(1 - \sqrt{2}) + 1 = 4 - 4\sqrt{2} + 1 = 5 - 4\sqrt{2}$.

Сравним полученные значения: $1$, $10$ и $5 - 4\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $5 - 4\sqrt{2} \approx 5 - 4 \cdot 1.414 = 5 - 5.656 = -0.656$. Следовательно, наибольшее значение $y_{max} = 10$, а наименьшее $y_{min} = 5 - 4\sqrt{2}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $10$, наименьшее значение функции равно $5 - 4\sqrt{2}$.

46.20. a) $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$, $[0; 4];$

б) $y = |x^3 - 1| - 3x$, $[-1; 3].$

a)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$ на отрезке $[0; 4]$.

Для этого сначала раскроем модуль $|1 - x|$. Выражение под модулем $1 - x$ обращается в ноль при $x = 1$. Эта точка разбивает отрезок $[0; 4]$ на два промежутка: $[0; 1]$ и $(1; 4]$.

1. Если $x \in [0; 1]$, то $1 - x \ge 0$, и $|1 - x| = 1 - x$. Функция принимает вид:

$y = x^2 - 4x + 5 + (1 - x) = x^2 - 5x + 6$.

2. Если $x \in (1; 4]$, то $1 - x < 0$, и $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$. Функция принимает вид:

$y = x^2 - 4x + 5 + (x - 1) = x^2 - 3x + 4$.

Таким образом, мы имеем дело с кусочно-заданной функцией:

$y(x) = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } x \in [0; 1] \\ x^2 - 3x + 4, & \text{если } x \in (1; 4] \end{cases}$

Для нахождения экстремумов на отрезке $[0; 4]$ необходимо найти значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Найдем производную на каждом из интервалов:

$y'(x) = \begin{cases} 2x - 5, & \text{если } x \in (0; 1) \\ 2x - 3, & \text{если } x \in (1; 4) \end{cases}$

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В точке $x=1$ производная не существует (это точка излома), поэтому $x=1$ – критическая точка.

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

На интервале $(0; 1)$: $2x - 5 = 0 \implies x = 2.5$. Эта точка не принадлежит интервалу $(0; 1)$.

На интервале $(1; 4)$: $2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$. Эта точка принадлежит интервалу $(1; 4)$, значит, $x=1.5$ – критическая точка.

Теперь вычислим значения функции в критических точках ($x=1$, $x=1.5$) и на концах заданного отрезка ($x=0$, $x=4$):

$y(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6$

$y(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 2$

$y(1.5) = (1.5)^2 - 3 \cdot (1.5) + 4 = 2.25 - 4.5 + 4 = 1.75$

$y(4) = 4^2 - 3 \cdot 4 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$

Сравнивая полученные значения $\{6; 2; 1.75; 8\}$, находим, что наименьшее значение функции равно $1.75$, а наибольшее – $8$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно $1.75$, а наибольшее значение равно $8$.

б)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x^3 - 1| - 3x$ на отрезке $[-1; 3]$.

Раскроем модуль $|x^3 - 1|$. Выражение $x^3 - 1$ равно нулю при $x^3=1$, то есть при $x=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

1. Если $x \in [-1; 1]$, то $x^3 - 1 \le 0$, и $|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) = 1 - x^3$. Функция принимает вид:

$y = (1 - x^3) - 3x = -x^3 - 3x + 1$.

2. Если $x \in (1; 3]$, то $x^3 - 1 > 0$, и $|x^3 - 1| = x^3 - 1$. Функция принимает вид:

$y = (x^3 - 1) - 3x = x^3 - 3x - 1$.

Функция является кусочно-заданной:

$y(x) = \begin{cases} -x^3 - 3x + 1, & \text{если } x \in [-1; 1] \\ x^3 - 3x - 1, & \text{если } x \in (1; 3] \end{cases}$

Для нахождения экстремумов на отрезке $[-1; 3]$ найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Найдем производную на каждом из интервалов:

$y'(x) = \begin{cases} -3x^2 - 3, & \text{если } x \in (-1; 1) \\ 3x^2 - 3, & \text{если } x \in (1; 3) \end{cases}$

В точке $x=1$ производная не существует, так как левая и правая производные не равны, следовательно, $x=1$ является критической точкой.

Найдем стационарные точки:

На интервале $(-1; 1)$: $-3x^2 - 3 = 0 \implies -3(x^2 + 1) = 0$. Уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2+1$ всегда больше нуля.

На интервале $(1; 3)$: $3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x = \pm 1$. Эти точки не принадлежат интервалу $(1; 3)$.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нужно вычислить ее значения только на концах отрезка $[-1; 3]$ и в точке излома $x=1$.

$y(-1) = |(-1)^3 - 1| - 3(-1) = |-1 - 1| + 3 = |-2| + 3 = 2 + 3 = 5$

$y(1) = |1^3 - 1| - 3(1) = |0| - 3 = 0 - 3 = -3$

$y(3) = |3^3 - 1| - 3(3) = |27 - 1| - 9 = 26 - 9 = 17$

Сравнивая полученные значения $\{5; -3; 17\}$, находим, что наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее – $17$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $-3$, а наибольшее значение равно $17$.

46.21. a) $y = \sin^3 x + \cos^3 x, \left[0; \frac{\pi}{2}\right];$

б) $y = \sin^5 x - \cos^5 x, \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right].$

a)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, воспользуемся алгоритмом нахождения экстремумов функции на отрезке.

1. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (\sin^3 x + \cos^3 x)' = 3\sin^2 x \cdot (\sin x)' + 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = 3\sin^2 x \cos x - 3\cos^2 x \sin x$.

Вынесем общий множитель $3\sin x \cos x$ за скобки:

$y' = 3\sin x \cos x (\sin x - \cos x)$.

2. Найдем критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$3\sin x \cos x (\sin x - \cos x) = 0$.

Это уравнение дает три случая:

• $\sin x = 0$. На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ решением является $x=0$.
• $\cos x = 0$. На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ решением является $x=\frac{\pi}{2}$.
• $\sin x - \cos x = 0$, что эквивалентно $\sin x = \cos x$. На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ это выполняется при $x=\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, у нас есть три точки для проверки: $0$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$.

3. Вычислим значения функции в этих точках:

При $x=0$:

$y(0) = \sin^3(0) + \cos^3(0) = 0^3 + 1^3 = 1$.

При $x=\frac{\pi}{4}$:

$y(\frac{\pi}{4}) = \sin^3(\frac{\pi}{4}) + \cos^3(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^3 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^3 = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $x=\frac{\pi}{2}$:

$y(\frac{\pi}{2}) = \sin^3(\frac{\pi}{2}) + \cos^3(\frac{\pi}{2}) = 1^3 + 0^3 = 1$.

4. Сравнивая полученные значения ($1$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$), находим наибольшее и наименьшее. Так как $1 > \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = 1$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $y_{наиб} = 1$, $y_{наим} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin^5 x - \cos^5 x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

1. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (\sin^5 x - \cos^5 x)' = 5\sin^4 x \cdot (\sin x)' - 5\cos^4 x \cdot (\cos x)' = 5\sin^4 x \cos x - 5\cos^4 x (-\sin x) = 5\sin^4 x \cos x + 5\cos^4 x \sin x$.

Вынесем общий множитель $5\sin x \cos x$ за скобки:

$y' = 5\sin x \cos x (\sin^3 x + \cos^3 x)$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$5\sin x \cos x (\sin^3 x + \cos^3 x) = 0$.

Рассмотрим три случая на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$:

• $\sin x = 0$. На данном отрезке это выполняется при $x=0$.
• $\cos x = 0$. На данном отрезке это выполняется при $x=-\frac{\pi}{2}$.
• $\sin^3 x + \cos^3 x = 0$, что эквивалентно $\sin^3 x = -\cos^3 x$, или $\tan^3 x = -1$. Отсюда $\tan x = -1$, и на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ решением является $x = -\frac{\pi}{4}$.

Точки для проверки: $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{4}$ и $0$.

3. Вычислим значения функции в этих точках:

При $x=-\frac{\pi}{2}$:

$y(-\frac{\pi}{2}) = \sin^5(-\frac{\pi}{2}) - \cos^5(-\frac{\pi}{2}) = (-1)^5 - 0^5 = -1$.

При $x=-\frac{\pi}{4}$:

$y(-\frac{\pi}{4}) = \sin^5(-\frac{\pi}{4}) - \cos^5(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^5 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^5 = -2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^5 = -2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{32} = -\frac{8\sqrt{2}}{32} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

При $x=0$:

$y(0) = \sin^5(0) - \cos^5(0) = 0^5 - 1^5 = -1$.

4. Сравниваем полученные значения: $-1$ и $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{\sqrt{2}}{4} \approx -0.3535$. Очевидно, что $-0.3535 > -1$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = -1$.

Ответ: $y_{наиб} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$, $y_{наим} = -1$.

46.22. a) $y = \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x, [-\pi; 0];$

б) $y = \cos^2 0.5x \cdot \cos x, [0; \pi].$

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x$ на отрезке $[-\pi; 0]$, мы выполним следующие шаги: найдем производную функции, определим критические точки, вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем сравним полученные значения.

1. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$y = \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x = \frac{1 - \cos x}{2} \cdot \sin x = \frac{1}{2}(\sin x - \sin x \cos x)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получим $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$y = \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{4}\sin(2x)$

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{4}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{4} \cdot 2\cos(2x) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos(2x))$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow \cos x - \cos(2x) = 0 \Rightarrow \cos x = \cos(2x)$

Это равенство выполняется в двух случаях:

$2x = x + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = -x + 2\pi k \Rightarrow 3x = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\pi; 0]$:

Из первой серии решений $x=2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=0$, что принадлежит отрезку.

Из второй серии решений $x=\frac{2\pi k}{3}$: при $k=0$ получаем $x=0$; при $k=-1$ получаем $x=-\frac{2\pi}{3}$, что принадлежит отрезку. Другие целые значения $k$ дают точки за пределами отрезка.

Таким образом, на данном отрезке имеем критические точки $x=0$ и $x=-\frac{2\pi}{3}$.

5. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-\pi$, $x=0$ и в критической точке $x=-\frac{2\pi}{3}$:

$y(-\pi) = \sin^2\left(\frac{-\pi}{2}\right) \cdot \sin(-\pi) = (-1)^2 \cdot 0 = 0$

$y(0) = \sin^2\left(\frac{0}{2}\right) \cdot \sin(0) = 0^2 \cdot 0 = 0$

$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \sin^2\left(\frac{-2\pi/3}{2}\right) \cdot \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$

6. Сравнивая полученные значения $0$ и $-\frac{3\sqrt{3}}{8}$, находим наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение функции на отрезке $[-\pi; 0]$ равно 0.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-\pi; 0]$ равно $-\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \cos^2(0,5x) \cdot \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$, поступим аналогично предыдущему пункту.

1. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$y = \cos^2(0,5x) \cdot \cos x = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos x = \frac{1 + \cos x}{2} \cdot \cos x = \frac{1}{2}(\cos x + \cos^2 x)$

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{1}{2}(\cos x + \cos^2 x)\right)' = \frac{1}{2}(-\sin x + 2\cos x \cdot (-\sin x)) = -\frac{1}{2}(\sin x + 2\sin x \cos x)$

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

$y' = -\frac{1}{2}(\sin x + \sin(2x))$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow \sin x + \sin(2x) = 0 \Rightarrow \sin x + 2\sin x \cos x = 0 \Rightarrow \sin x(1 + 2\cos x) = 0$

Это равенство распадается на два уравнения:

$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$1 + 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$:

Из первой серии решений $x=\pi k$: при $k=0$ получаем $x=0$; при $k=1$ получаем $x=\pi$. Обе точки принадлежат отрезку.

Из второй серии решений $x=\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=\frac{2\pi}{3}$ и $x=-\frac{2\pi}{3}$. Отрезку $[0; \pi]$ принадлежит только $x=\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, на данном отрезке имеем критические точки $x=0$, $x=\frac{2\pi}{3}$ и $x=\pi$.

5. Вычислим значения функции в этих точках (точки $x=0$ и $x=\pi$ являются также и концами отрезка):

$y(0) = \cos^2(0) \cdot \cos(0) = 1^2 \cdot 1 = 1$

$y(\pi) = \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos(\pi) = 0^2 \cdot (-1) = 0$

$y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8}$

6. Сравнивая полученные значения $1$, $0$ и $-\frac{1}{8}$, находим наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно 1.

Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $-\frac{1}{8}$.

Ответ: $y_{наиб} = 1$, $y_{наим} = -\frac{1}{8}$.

46.23. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

а) $y = x^3 - 2x^2 + 1$, $[0.5; +\infty);$

б) $y = x - 2\sqrt{x}$, $[0; +\infty);$

в) $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$, $(-\infty; 1];$

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$, $(-\infty; +\infty).$

а)

Дана функция $y = x^3 - 2x^2 + 1$ на промежутке $[0,5; +\infty)$.

1. Найдем производную функции для определения точек экстремума:

$y' = (x^3 - 2x^2 + 1)' = 3x^2 - 4x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0,5; +\infty)$.

Точка $x_1 = 0$ не принадлежит промежутку, так как $0 < 0,5$.

Точка $x_2 = \frac{4}{3}$ принадлежит промежутку, так как $\frac{4}{3} \approx 1,33 > 0,5$.

4. Вычислим значения функции на левой границе промежутка $x = 0,5$ и в критической точке $x = \frac{4}{3}$, которая попадает в промежуток.

Значение на границе:

$y(0,5) = (0,5)^3 - 2(0,5)^2 + 1 = 0,125 - 2 \cdot 0,25 + 1 = 0,125 - 0,5 + 1 = 0,625$.

Значение в критической точке:

$y(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + 1 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + 1 = \frac{64 - 96 + 27}{27} = -\frac{5}{27}$.

5. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 2x^2 + 1) = +\infty$.

Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнивая вычисленные значения $y(0,5) = 0,625$ и $y(\frac{4}{3}) = -\frac{5}{27}$, находим наименьшее. Так как $-\frac{5}{27} < 0,625$, наименьшее значение функции равно $-\frac{5}{27}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{5}{27}$, наибольшего значения не существует.

б)

Дана функция $y = x - 2\sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$.

1. Найдем производную функции. Область определения производной $x > 0$.

$y' = (x - 2\sqrt{x})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

2. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Также к критическим точкам относится точка $x=0$, в которой производная не определена (но функция определена).

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=1$, принадлежат промежутку $[0; +\infty)$.

4. Вычислим значения функции в этих точках.

При $x=0$:

$y(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0$.

При $x=1$:

$y(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1$.

5. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (x - 2\sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x}-2) = +\infty$.

Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнивая значения $y(0)=0$ и $y(1)=-1$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -1.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшего значения не существует.

в)

Дана функция $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$ на промежутке $(-\infty; 1]$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{1}{5}x^5 - x^2)' = x^4 - 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^4 - 2x = 0$

$x(x^3 - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt[3]{2}$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 1]$.

Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = \sqrt[3]{2} \approx 1,26$ не принадлежит промежутку, так как $1,26 > 1$.

4. Вычислим значения функции на правой границе промежутка $x = 1$ и в критической точке $x = 0$.

Значение на границе:

$y(1) = \frac{1}{5}(1)^5 - (1)^2 = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}$.

Значение в критической точке:

$y(0) = \frac{1}{5}(0)^5 - (0)^2 = 0$.

5. Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{5}x^5 - x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^5(\frac{1}{5} - \frac{1}{x^3}) = -\infty$.

Поскольку функция неограниченно убывает, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнивая вычисленные значения $y(1) = -0,8$ и $y(0) = 0$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 0.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{(x^4)'(x^4+1) - x^4(x^4+1)'}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3(x^4+1) - x^4(4x^3)}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^7 + 4x^3 - 4x^7}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4+1)^2}$.

2. Найдем критические точки. Производная существует при всех $x$. Приравняем ее к нулю:

$\frac{4x^3}{(x^4+1)^2} = 0 \implies 4x^3 = 0 \implies x = 0$.

Единственная критическая точка — $x=0$.

3. Вычислим значение функции в этой точке:

$y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = \frac{0}{1} = 0$.

4. Определим знак производной на интервалах. Знаменатель $(x^4+1)^2$ всегда положителен. Знак $y'$ зависит от знака $4x^3$.

При $x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего минимума. Это наименьшее значение на всей числовой прямой.

5. Исследуем поведение функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4(1 + \frac{1}{x^4})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^4}} = \frac{1}{1+0} = 1$.

Функция стремится к 1, но никогда ее не достигает, так как для любого действительного $x$ числитель $x^4$ строго меньше знаменателя $x^4 + 1$. Таким образом, у функции есть точная верхняя грань (супремум), равная 1, но нет наибольшего значения (максимума).

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 0$, наибольшего значения не существует.