Страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

46.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \begin{cases} (x + 2)^2 - 3, & \text{если } x \le -2, \\ x^2 - 4, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

на отрезке:

a) $[-4; -3]$

б) $[0; 2]$

в) $[-2; 3]$

г) $[-3; 0]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений кусочно-заданной функции на различных отрезках, проанализируем каждую ее часть.

Функция задана как:

$y = \begin{cases} (x+2)^2 - 3, & \text{если } x \le -2 \\ x^2 - 4, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

Первая часть, $y_1(x) = (x+2)^2 - 3$ — это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-2; -3)$. На своей области определения $x \le -2$ эта функция является убывающей.

Вторая часть, $y_2(x) = x^2 - 4$ — это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0; -4)$. Эта функция убывает на промежутке $(-2; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x=-2$ функция имеет разрыв. Значение функции в этой точке $y(-2) = (-2+2)^2 - 3 = -3$. Предел справа от точки разрыва: $\lim_{x\to-2^+} y(x) = \lim_{x\to-2^+} (x^2-4) = (-2)^2 - 4 = 0$.

а) на отрезке [-4; -3]

Весь отрезок $[-4; -3]$ принадлежит области определения $x \le -2$, поэтому на нем используется формула $y(x) = (x+2)^2 - 3$. Так как на этом отрезке функция является убывающей (вершина параболы в точке $x=-2$, а отрезок лежит левее), наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = (-4+2)^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = (-3+2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $1$.

б) на отрезке [0; 2]

Весь отрезок $[0; 2]$ принадлежит области определения $x > -2$, поэтому на нем используется формула $y(x) = x^2 - 4$. Вершина этой параболы находится в точке $x=0$. На отрезке $[0; 2]$ функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 - 4 = -4$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Ответ: наименьшее значение $-4$, наибольшее значение $0$.

в) на отрезке [-2; 3]

Этот отрезок включает точку $x=-2$ и промежуток $(-2; 3]$.

В точке $x=-2$ значение функции: $y(-2) = (-2+2)^2 - 3 = -3$.

На промежутке $(-2; 3]$ используется формула $y(x) = x^2 - 4$. На этом промежутке находится вершина параболы $x=0$, где функция достигает своего минимума: $y(0) = 0^2-4 = -4$.

Чтобы найти наибольшее значение на $(-2; 3]$, сравним значение на правом конце и предел на левом. $y(3) = 3^2-4 = 9 - 4 = 5$. Предел слева: $\lim_{x\to-2^+} (x^2-4) = 0$. Наибольшее значение на $(-2; 3]$ равно $5$.

Теперь сравним все ключевые значения на отрезке $[-2; 3]$: значение в точке $x=-2$ равно $-3$, локальный минимум в $x=0$ равен $-4$, и значение на конце отрезка $x=3$ равно $5$.

Наименьшее значение на всем отрезке: $y_{наим} = \min(-3, -4) = -4$.

Наибольшее значение на всем отрезке: $y_{наиб} = \max(-3, 5) = 5$.

Ответ: наименьшее значение $-4$, наибольшее значение $5$.

г) на отрезке [-3; 0]

Этот отрезок состоит из двух частей: $[-3; -2]$ и $(-2; 0]$.

На отрезке $[-3; -2]$ используется формула $y(x) = (x+2)^2 - 3$. Функция здесь убывает. Множество значений на этом отрезке: $[y(-2), y(-3)] = [-3, -2]$.

На промежутке $(-2; 0]$ используется формула $y(x) = x^2 - 4$. Функция здесь убывает (вершина в $x=0$). Множество значений на этом промежутке: $[y(0), \lim_{x\to-2^+}y(x)) = [-4, 0)$.

Общее множество значений функции на отрезке $[-3; 0]$ является объединением этих двух множеств: $[-3, -2] \cup [-4, 0) = [-4, 0)$.

Наименьшее значение функции на этом отрезке — это наименьший элемент в множестве значений. $y_{наим} = -4$, оно достигается в точке $x=0$.

Наибольшее значение — это наибольший элемент в множестве значений. Множество $[-4, 0)$ не имеет наибольшего элемента (оно открыто сверху). Значения функции подходят сколь угодно близко к $0$, но никогда его не достигают. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном отрезке не существует.

Ответ: наименьшее значение $-4$, наибольшего значения не существует.

46.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке:

а) $y = x^2 - 8x + 19$, $[-1; 5];$

б) $y = x^2 + 4x - 3$, $[0; 2];$

в) $y = 2x^2 - 8x + 6$, $[-1; 4];$

г) $y = -3x^2 + 6x - 10$, $[-2; 9].$

а) Для функции $y = x^2 - 8x + 19$ на отрезке $[-1; 5]$:
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Следовательно, свое наименьшее значение на всей числовой прямой функция принимает в вершине параболы.
1. Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
2. Проверим, принадлежит ли абсцисса вершины заданному отрезку $[-1; 5]$.
Так как $-1 \le 4 \le 5$, точка $x_0 = 4$ принадлежит отрезку. Значит, наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться в этой точке.
3. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений, вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 19 = 16 - 32 + 19 = 3$
$y(-1) = (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28$
$y(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 19 = 25 - 40 + 19 = 4$
4. Сравнивая полученные значения ($3, 28, 4$), находим, что наименьшее значение равно $3$, а наибольшее равно $28$.
Ответ: $y_{наим} = 3, y_{наиб} = 28$.

б) Для функции $y = x^2 + 4x - 3$ на отрезке $[0; 2]$:
Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).
1. Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
2. Абсцисса вершины $x_0 = -2$ не принадлежит отрезку $[0; 2]$.
Поскольку вершина параболы находится левее отрезка, а ветви направлены вверх, функция на отрезке $[0; 2]$ монотонно возрастает.
3. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=2$:
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3$
$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9$
4. Наименьшее значение равно $-3$, а наибольшее равно $9$.
Ответ: $y_{наим} = -3, y_{наиб} = 9$.

в) Для функции $y = 2x^2 - 8x + 6$ на отрезке $[-1; 4]$:
Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$).
1. Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
2. Точка $x_0 = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$. Значит, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения на отрезке.
3. Вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$
$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16$
$y(4) = 2 \cdot 4^2 - 8 \cdot 4 + 6 = 32 - 32 + 6 = 6$
4. Сравнивая значения ($-2, 16, 6$), находим, что наименьшее значение равно $-2$, а наибольшее равно $16$.
Ответ: $y_{наим} = -2, y_{наиб} = 16$.

г) Для функции $y = -3x^2 + 6x - 10$ на отрезке $[-2; 9]$:
Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-3 < 0$). Наибольшее значение функция принимает в вершине.
1. Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.
2. Точка $x_0 = 1$ принадлежит отрезку $[-2; 9]$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения на отрезке.
3. Вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 10 = -3 + 6 - 10 = -7$
$y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) - 10 = -3 \cdot 4 - 12 - 10 = -12 - 12 - 10 = -34$
$y(9) = -3 \cdot 9^2 + 6 \cdot 9 - 10 = -3 \cdot 81 + 54 - 10 = -243 + 44 = -199$
4. Сравнивая значения ($-7, -34, -199$), находим, что наибольшее значение равно $-7$, а наименьшее равно $-199$.
Ответ: $y_{наиб} = -7, y_{наим} = -199$.

46.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1$ на отрезке:

а) $[-1; 3]$;

б) $[3; 6]$;

в) $[-2; 3]$;

г) $[3; 5]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить полученные результаты.

Исходная функция: $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 9x^2 + 24x - 1)' = 3x^2 - 18x + 24$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 18x + 24 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) равны:

$x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Это критические точки функции. Теперь проанализируем каждый отрезок.

a) [-1; 3]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 2$. Точка $x=4$ не принадлежит отрезку.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = -1$, $x = 3$) и в критической точке $x = 2$:

• $y(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 24(-1) - 1 = -1 - 9 - 24 - 1 = -35$
• $y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19$
• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$

Сравнивая полученные значения $\{-35, 19, 17\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 19, наименьшее значение -35.

б) [3; 6]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 4$. Точка $x=2$ не принадлежит отрезку.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = 3$, $x = 6$) и в критической точке $x = 4$:

• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$
• $y(4) = 4^3 - 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 - 1 = 64 - 144 + 96 - 1 = 15$
• $y(6) = 6^3 - 9 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 - 1 = 216 - 324 + 144 - 1 = 35$

Сравнивая полученные значения $\{17, 15, 35\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 35, наименьшее значение 15.

в) [-2; 3]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 2$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = -2$, $x = 3$) и в критической точке $x = 2$:

• $y(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 24(-2) - 1 = -8 - 36 - 48 - 1 = -93$
• $y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19$
• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$

Сравнивая полученные значения $\{-93, 19, 17\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 19, наименьшее значение -93.

г) [3; 5]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = 3$, $x = 5$) и в критической точке $x = 4$:

• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$
• $y(4) = 4^3 - 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 - 1 = 64 - 144 + 96 - 1 = 15$
• $y(5) = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 - 1 = 125 - 225 + 120 - 1 = 19$

Сравнивая полученные значения $\{17, 15, 19\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 19, наименьшее значение 15.

46.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$ на отрезке:

a) $[-6; 0];$

б) $[1; 2];$

в) $[-6; -1];$

г) $[0; 2].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений найти наибольшее и наименьшее.

Дана функция $y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + 3x^2 - 45x - 2)' = 3x^2 + 6x - 45$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 + 6x - 45 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -15, а их сумма равна -2. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Таким образом, критические точки функции: $x = -5$ и $x = 3$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

а) На отрезке $[-6; 0]$

Критическая точка $x = -5$ принадлежит этому отрезку, а точка $x = 3$ — нет. Следовательно, нам нужно вычислить значения функции в точках $x = -6$, $x = -5$ и $x = 0$.

• $y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 45(-6) - 2 = -216 + 3 \cdot 36 + 270 - 2 = -216 + 108 + 270 - 2 = 160$.
• $y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2 = -125 + 3 \cdot 25 + 225 - 2 = -125 + 75 + 225 - 2 = 173$.
• $y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 45 \cdot 0 - 2 = -2$.

Сравнивая значения $160$, $173$ и $-2$, находим, что наибольшее значение равно $173$, а наименьшее — $-2$.

Ответ: $y_{наиб} = 173$, $y_{наим} = -2$.

б) На отрезке $[1; 2]$

Ни одна из критических точек ($x = -5$ и $x = 3$) не принадлежит этому отрезку. Значит, функция на этом отрезке монотонна, и ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = 1$ и $x = 2$.

• $y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 45 \cdot 1 - 2 = 1 + 3 - 45 - 2 = -43$.
• $y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 45 \cdot 2 - 2 = 8 + 3 \cdot 4 - 90 - 2 = 8 + 12 - 90 - 2 = -72$.

Сравнивая значения $-43$ и $-72$, находим, что наибольшее значение равно $-43$, а наименьшее — $-72$.

Ответ: $y_{наиб} = -43$, $y_{наим} = -72$.

в) На отрезке $[-6; -1]$

Критическая точка $x = -5$ принадлежит этому отрезку, а точка $x = 3$ — нет. Вычислим значения функции в точках $x = -6$, $x = -5$ и $x = -1$.

Значения для $x=-6$ и $x=-5$ уже были вычислены в пункте а):

• $y(-6) = 160$.
• $y(-5) = 173$.
• $y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 45(-1) - 2 = -1 + 3 \cdot 1 + 45 - 2 = -1 + 3 + 45 - 2 = 45$.

Сравнивая значения $160$, $173$ и $45$, находим, что наибольшее значение равно $173$, а наименьшее — $45$.

Ответ: $y_{наиб} = 173$, $y_{наим} = 45$.

г) На отрезке $[0; 2]$

Ни одна из критических точек ($x = -5$ и $x = 3$) не принадлежит этому отрезку. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = 0$ и $x = 2$.

Эти значения уже были вычислены в предыдущих пунктах:

• $y(0) = -2$.
• $y(2) = -72$.

Сравнивая значения $-2$ и $-72$, находим, что наибольшее значение равно $-2$, а наименьшее — $-72$.

Ответ: $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -72$.

46.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$ на отрезке:

а) [0; 2];

б) [3; 6];

в) [-1; 3];

г) [2; 7].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки функции, решив уравнение $y'(x) = 0$.
3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Исходная функция: $y = x? - 9x? + 15x - 3$.

1. Находим производную:

$y'(x) = (x? - 9x? + 15x - 3)' = 3x? - 18x + 15$.

2. Находим критические точки:

$3x? - 18x + 15 = 0$

Разделим обе части на 3:

$x? - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Теперь решим задачу для каждого из указанных отрезков.

а) [0; 2]

Заданный отрезок: $[0; 2]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[0; 2]$ принадлежит только точка $x=1$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=0$, $x=2$) и в критической точке $x=1$:

• $y(0) = 0? - 9(0)? + 15(0) - 3 = -3$
• $y(1) = 1? - 9(1)? + 15(1) - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$
• $y(2) = 2? - 9(2)? + 15(2) - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$

Сравнивая значения $-3, 4, -1$, находим, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно -3.

Ответ: $y_{наиб} = 4$, $y_{наим} = -3$.

б) [3; 6]

Заданный отрезок: $[3; 6]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[3; 6]$ принадлежит только точка $x=5$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=3$, $x=6$) и в критической точке $x=5$:

• $y(3) = 3? - 9(3)? + 15(3) - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$
• $y(5) = 5? - 9(5)? + 15(5) - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$
• $y(6) = 6? - 9(6)? + 15(6) - 3 = 216 - 324 + 90 - 3 = -21$

Сравнивая значения $-12, -28, -21$, находим, что наибольшее значение равно -12, а наименьшее равно -28.

Ответ: $y_{наиб} = -12$, $y_{наим} = -28$.

в) [-1; 3]

Заданный отрезок: $[-1; 3]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[-1; 3]$ принадлежит только точка $x=1$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=-1$, $x=3$) и в критической точке $x=1$:

• $y(-1) = (-1)? - 9(-1)? + 15(-1) - 3 = -1 - 9 - 15 - 3 = -28$
• $y(1) = 1? - 9(1)? + 15(1) - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$
• $y(3) = 3? - 9(3)? + 15(3) - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$

Сравнивая значения $-28, 4, -12$, находим, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно -28.

Ответ: $y_{наиб} = 4$, $y_{наим} = -28$.

г) [2; 7]

Заданный отрезок: $[2; 7]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[2; 7]$ принадлежит только точка $x=5$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=2$, $x=7$) и в критической точке $x=5$:

• $y(2) = 2? - 9(2)? + 15(2) - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$
• $y(5) = 5? - 9(5)? + 15(5) - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$
• $y(7) = 7? - 9(7)? + 15(7) - 3 = 343 - 441 + 105 - 3 = 4$

Сравнивая значения $-1, -28, 4$, находим, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно -28.

Ответ: $y_{наиб} = 4$, $y_{наим} = -28$.

46.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1$ на отрезке:

а) $[-1; 2];$

б) $[1; 6];$

в) $[-2; 3];$

г) $[1; 7].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки функции, решив уравнение $y'(x) = 0$.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения: самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

Задана функция $y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1$.

1. Найдем ее производную:

$y'(x) = (x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1)' = 4x^3 - 24x^2 + 20x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 24x^2 + 20x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 6x + 5) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

и

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Корни квадратного уравнения: $x_2 = 1$ и $x_3 = 5$.

Таким образом, мы получили три критические точки: $x = 0$, $x = 1$, $x = 5$.

Теперь рассмотрим каждый из заданных отрезков.

а) Отрезок $[-1; 2]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=-1$, $x=2$) и в этих критических точках:

$y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^3 + 10(-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$

$y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1$

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(2) = 2^4 - 8(2)^3 + 10(2)^2 + 1 = 16 - 8(8) + 10(4) + 1 = 16 - 64 + 40 + 1 = -7$

Среди полученных значений $\{20, 1, 4, -7\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -7, наибольшее значение функции 20.

б) Отрезок $[1; 6]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=1$ и $x=5$. Точка $x=1$ также является концом отрезка.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=1$, $x=6$) и в критической точке $x=5$:

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(5) = 5^4 - 8(5)^3 + 10(5)^2 + 1 = 625 - 8(125) + 10(25) + 1 = 625 - 1000 + 250 + 1 = -124$

$y(6) = 6^4 - 8(6)^3 + 10(6)^2 + 1 = 1296 - 8(216) + 10(36) + 1 = 1296 - 1728 + 360 + 1 = -71$

Среди полученных значений $\{4, -124, -71\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -124, наибольшее значение функции 4.

в) Отрезок $[-2; 3]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=-2$, $x=3$) и в этих критических точках:

$y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^3 + 10(-2)^2 + 1 = 16 - 8(-8) + 10(4) + 1 = 16 + 64 + 40 + 1 = 121$

$y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1$

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(3) = 3^4 - 8(3)^3 + 10(3)^2 + 1 = 81 - 8(27) + 10(9) + 1 = 81 - 216 + 90 + 1 = -44$

Среди полученных значений $\{121, 1, 4, -44\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -44, наибольшее значение функции 121.

г) Отрезок $[1; 7]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=1$ и $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=1$, $x=7$) и в критической точке $x=5$:

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(5) = 5^4 - 8(5)^3 + 10(5)^2 + 1 = 625 - 1000 + 250 + 1 = -124$

$y(7) = 7^4 - 8(7)^3 + 10(7)^2 + 1 = 2401 - 8(343) + 10(49) + 1 = 2401 - 2744 + 490 + 1 = 148$

Среди полученных значений $\{4, -124, 148\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -124, наибольшее значение функции 148.

46.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x + \frac{4}{x - 1}$ на отрезке:

а) [2; 4];

б) [-2; 0].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

Заданная функция: $y = x + \frac{4}{x-1}$.

1. Найдём производную функции, чтобы определить критические точки. Используем правило дифференцирования частного и суммы.

$y' = (x)' + \left(\frac{4}{x-1}\right)' = 1 - \frac{4}{(x-1)^2}$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Производная не существует в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции.

$1 - \frac{4}{(x-1)^2} = 0$

$1 = \frac{4}{(x-1)^2}$

$(x-1)^2 = 4$

Извлекая корень из обеих частей, получаем два уравнения:

$x-1 = 2 \implies x_1 = 3$

$x-1 = -2 \implies x_2 = -1$

Таким образом, критические точки функции: $x=3$ и $x=-1$.

а) [2; 4]

Рассмотрим отрезок $[2; 4]$. Из двух критических точек только $x = 3$ принадлежит этому отрезку.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка (в точках $x=2$ и $x=4$) и в критической точке $x=3$:

• $y(2) = 2 + \frac{4}{2-1} = 2 + 4 = 6$
• $y(3) = 3 + \frac{4}{3-1} = 3 + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5$
• $y(4) = 4 + \frac{4}{4-1} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$

Сравнивая полученные значения ($6, 5, 5\frac{1}{3}$), находим, что наибольшее значение равно 6, а наименьшее — 5.

Ответ: $y_{наиб}=6$, $y_{наим}=5$.

б) [-2; 0]

Рассмотрим отрезок $[-2; 0]$. Из двух критических точек только $x = -1$ принадлежит этому отрезку.

Вычислим значения функции на концах отрезка (в точках $x=-2$ и $x=0$) и в критической точке $x=-1$:

• $y(-2) = -2 + \frac{4}{-2-1} = -2 - \frac{4}{3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$
• $y(-1) = -1 + \frac{4}{-1-1} = -1 - 2 = -3$
• $y(0) = 0 + \frac{4}{0-1} = 0 - 4 = -4$

Сравнивая полученные значения ($-3\frac{1}{3}$, $-3$, $-4$), находим, что наибольшее значение равно -3, а наименьшее — -4.

Ответ: $y_{наиб}=-3$, $y_{наим}=-4$.

46.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном отрезке:

а) $y = \operatorname{ctg} x + x, \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right];$

б) $y = 2 \sin x - x, [0; \pi];$

в) $y = 2 \cos x + x, \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right];$

г) $y = \operatorname{tg} x - x, \left[0; \frac{\pi}{3}\right].$

а) $y = \ctg x + x$, на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, найдем её производную и определим её знак на данном отрезке.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (\ctg x + x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 1 = \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = -\ctg^2 x$.

2. Анализируем знак производной на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

Производная $y' = -\ctg^2 x$ является неположительной ($y' \le 0$) для всех $x$ из области определения функции. Производная равна нулю в точке $x = \frac{\pi}{2}$, которая принадлежит данному отрезку. Так как производная не меняет знак и является неположительной, функция $y(x)$ монотонно убывает на всем отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

3. Для монотонно убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{4}$ (наибольшее значение):

$y_{наиб} = y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4}$.

Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{3\pi}{4}$ (наименьшее значение):

$y_{наим} = y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} = -1 + \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1 + \frac{3\pi}{4}$, наибольшее значение $y_{наиб} = 1 + \frac{\pi}{4}$.

б) $y = 2 \sin x - x$, на отрезке $[0; \pi]$

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, найдем её производную, критические точки и сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (2 \sin x - x)' = 2 \cos x - 1$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.

На отрезке $[0; \pi]$ этому уравнению удовлетворяет единственная точка $x = \frac{\pi}{3}$.

3. Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=\frac{\pi}{3}$ делит отрезок $[0; \pi]$.

На интервале $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$, $\cos x > \frac{1}{2}$, поэтому $y' > 0$, и функция возрастает.

На интервале $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)$, $\cos x < \frac{1}{2}$, поэтому $y' < 0$, и функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\pi}{3}$ функция достигает своего локального максимума, который и будет наибольшим значением на отрезке.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Значение на левом конце отрезка: $y(0) = 2 \sin 0 - 0 = 0$.

Значение в точке максимума: $y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Значение на правом конце отрезка: $y(\pi) = 2 \sin \pi - \pi = 0 - \pi = -\pi$.

5. Сравниваем полученные значения: $-\pi < 0 < \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, а наименьшее $y_{наим} = -\pi$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -\pi$, наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

в) $y = 2 \cos x + x$, на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, найдем её производную, критические точки и сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (2 \cos x + x)' = -2 \sin x + 1$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-2 \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ этому уравнению удовлетворяет единственная точка $x = \frac{\pi}{6}$.

3. Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=\frac{\pi}{6}$ делит отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

На интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$, $\sin x < \frac{1}{2}$, поэтому $y' = 1 - 2\sin x > 0$, и функция возрастает.

На интервале $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$, $\sin x > \frac{1}{2}$, поэтому $y' < 0$, и функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\pi}{6}$ функция достигает своего локального максимума, который будет наибольшим значением на отрезке.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Значение на левом конце отрезка: $y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.

Значение в точке максимума: $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.

Значение на правом конце отрезка: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

5. Сравниваем значения на концах отрезка, чтобы найти наименьшее: $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2}$.

Наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$, а наименьшее $y_{наим} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -\frac{\pi}{2}$, наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.

г) $y = \tg x - x$, на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, найдем её производную и определим её знак на данном отрезке.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (\tg x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tg^2 x$.

2. Анализируем знак производной на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$.

Производная $y' = \tg^2 x$ является неотрицательной ($y' \ge 0$) для всех $x$ из области определения. Производная равна нулю в точке $x = 0$, которая является левым концом отрезка. Так как производная неотрицательна, функция $y(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$.

3. Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычисляем значение функции в точке $x = 0$ (наименьшее значение):

$y_{наим} = y(0) = \tg 0 - 0 = 0$.

Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{3}$ (наибольшее значение):

$y_{наиб} = y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.