Номер 46.9, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Производная. Параграф 46. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 46.9, страница 280.

Условие.

46.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке:

а) $y = x^2 - 8x + 19$, $[-1; 5];$

б) $y = x^2 + 4x - 3$, $[0; 2];$

в) $y = 2x^2 - 8x + 6$, $[-1; 4];$

г) $y = -3x^2 + 6x - 10$, $[-2; 9].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) Для функции $y = x^2 - 8x + 19$ на отрезке $[-1; 5]$:
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Следовательно, свое наименьшее значение на всей числовой прямой функция принимает в вершине параболы.
1. Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
2. Проверим, принадлежит ли абсцисса вершины заданному отрезку $[-1; 5]$.
Так как $-1 \le 4 \le 5$, точка $x_0 = 4$ принадлежит отрезку. Значит, наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться в этой точке.
3. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений, вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 19 = 16 - 32 + 19 = 3$
$y(-1) = (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28$
$y(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 19 = 25 - 40 + 19 = 4$
4. Сравнивая полученные значения ($3, 28, 4$), находим, что наименьшее значение равно $3$, а наибольшее равно $28$.
Ответ: $y_{наим} = 3, y_{наиб} = 28$.

б) Для функции $y = x^2 + 4x - 3$ на отрезке $[0; 2]$:
Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).
1. Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
2. Абсцисса вершины $x_0 = -2$ не принадлежит отрезку $[0; 2]$.
Поскольку вершина параболы находится левее отрезка, а ветви направлены вверх, функция на отрезке $[0; 2]$ монотонно возрастает.
3. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=2$:
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3$
$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9$
4. Наименьшее значение равно $-3$, а наибольшее равно $9$.
Ответ: $y_{наим} = -3, y_{наиб} = 9$.

в) Для функции $y = 2x^2 - 8x + 6$ на отрезке $[-1; 4]$:
Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$).
1. Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
2. Точка $x_0 = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$. Значит, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения на отрезке.
3. Вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$
$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16$
$y(4) = 2 \cdot 4^2 - 8 \cdot 4 + 6 = 32 - 32 + 6 = 6$
4. Сравнивая значения ($-2, 16, 6$), находим, что наименьшее значение равно $-2$, а наибольшее равно $16$.
Ответ: $y_{наим} = -2, y_{наиб} = 16$.

г) Для функции $y = -3x^2 + 6x - 10$ на отрезке $[-2; 9]$:
Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-3 < 0$). Наибольшее значение функция принимает в вершине.
1. Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.
2. Точка $x_0 = 1$ принадлежит отрезку $[-2; 9]$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения на отрезке.
3. Вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 10 = -3 + 6 - 10 = -7$
$y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) - 10 = -3 \cdot 4 - 12 - 10 = -12 - 12 - 10 = -34$
$y(9) = -3 \cdot 9^2 + 6 \cdot 9 - 10 = -3 \cdot 81 + 54 - 10 = -243 + 44 = -199$
4. Сравнивая значения ($-7, -34, -199$), находим, что наибольшее значение равно $-7$, а наименьшее равно $-199$.
Ответ: $y_{наиб} = -7, y_{наим} = -199$.