Номер 46.8, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \begin{cases} (x + 2)^2 - 3, & \text{если } x \le -2, \\ x^2 - 4, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

на отрезке:

a) $[-4; -3]$

б) $[0; 2]$

в) $[-2; 3]$

г) $[-3; 0]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений кусочно-заданной функции на различных отрезках, проанализируем каждую ее часть.

Функция задана как:

$y = \begin{cases} (x+2)^2 - 3, & \text{если } x \le -2 \\ x^2 - 4, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

Первая часть, $y_1(x) = (x+2)^2 - 3$ — это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-2; -3)$. На своей области определения $x \le -2$ эта функция является убывающей.

Вторая часть, $y_2(x) = x^2 - 4$ — это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0; -4)$. Эта функция убывает на промежутке $(-2; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x=-2$ функция имеет разрыв. Значение функции в этой точке $y(-2) = (-2+2)^2 - 3 = -3$. Предел справа от точки разрыва: $\lim_{x\to-2^+} y(x) = \lim_{x\to-2^+} (x^2-4) = (-2)^2 - 4 = 0$.

а) на отрезке [-4; -3]

Весь отрезок $[-4; -3]$ принадлежит области определения $x \le -2$, поэтому на нем используется формула $y(x) = (x+2)^2 - 3$. Так как на этом отрезке функция является убывающей (вершина параболы в точке $x=-2$, а отрезок лежит левее), наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = (-4+2)^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = (-3+2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $1$.

б) на отрезке [0; 2]

Весь отрезок $[0; 2]$ принадлежит области определения $x > -2$, поэтому на нем используется формула $y(x) = x^2 - 4$. Вершина этой параболы находится в точке $x=0$. На отрезке $[0; 2]$ функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 - 4 = -4$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Ответ: наименьшее значение $-4$, наибольшее значение $0$.

в) на отрезке [-2; 3]

Этот отрезок включает точку $x=-2$ и промежуток $(-2; 3]$.

В точке $x=-2$ значение функции: $y(-2) = (-2+2)^2 - 3 = -3$.

На промежутке $(-2; 3]$ используется формула $y(x) = x^2 - 4$. На этом промежутке находится вершина параболы $x=0$, где функция достигает своего минимума: $y(0) = 0^2-4 = -4$.

Чтобы найти наибольшее значение на $(-2; 3]$, сравним значение на правом конце и предел на левом. $y(3) = 3^2-4 = 9 - 4 = 5$. Предел слева: $\lim_{x\to-2^+} (x^2-4) = 0$. Наибольшее значение на $(-2; 3]$ равно $5$.

Теперь сравним все ключевые значения на отрезке $[-2; 3]$: значение в точке $x=-2$ равно $-3$, локальный минимум в $x=0$ равен $-4$, и значение на конце отрезка $x=3$ равно $5$.

Наименьшее значение на всем отрезке: $y_{наим} = \min(-3, -4) = -4$.

Наибольшее значение на всем отрезке: $y_{наиб} = \max(-3, 5) = 5$.

Ответ: наименьшее значение $-4$, наибольшее значение $5$.

г) на отрезке [-3; 0]

Этот отрезок состоит из двух частей: $[-3; -2]$ и $(-2; 0]$.

На отрезке $[-3; -2]$ используется формула $y(x) = (x+2)^2 - 3$. Функция здесь убывает. Множество значений на этом отрезке: $[y(-2), y(-3)] = [-3, -2]$.

На промежутке $(-2; 0]$ используется формула $y(x) = x^2 - 4$. Функция здесь убывает (вершина в $x=0$). Множество значений на этом промежутке: $[y(0), \lim_{x\to-2^+}y(x)) = [-4, 0)$.

Общее множество значений функции на отрезке $[-3; 0]$ является объединением этих двух множеств: $[-3, -2] \cup [-4, 0) = [-4, 0)$.

Наименьшее значение функции на этом отрезке — это наименьший элемент в множестве значений. $y_{наим} = -4$, оно достигается в точке $x=0$.

Наибольшее значение — это наибольший элемент в множестве значений. Множество $[-4, 0)$ не имеет наибольшего элемента (оно открыто сверху). Значения функции подходят сколь угодно близко к $0$, но никогда его не достигают. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном отрезке не существует.

Ответ: наименьшее значение $-4$, наибольшего значения не существует.