Номер 46.6, страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.6. a) $y = 2 - 3 \sin x + 4 \cos x$;

б) $y = 3 \sin x - 4 \cos x + 1$.

a) $y = 2 - 3\sin x + 4\cos x$

Для нахождения области значений функции, представленной в виде $y = C + a\sin x + b\cos x$, используется метод введения вспомогательного угла. Область значений для выражения $a\sin x + b\cos x$ представляет собой отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Рассмотрим часть функции $4\cos x - 3\sin x$. В данном случае коэффициенты при тригонометрических функциях: $a = -3$ (коэффициент при $\sin x$) и $b = 4$ (коэффициент при $\cos x$).

Вычислим амплитуду $R$ для этого выражения:

$R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Это означает, что значения выражения $4\cos x - 3\sin x$ находятся в пределах от $-5$ до $5$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-5 \le 4\cos x - 3\sin x \le 5$.

Теперь вернемся к исходной функции $y = 2 + (4\cos x - 3\sin x)$. Чтобы найти ее область значений, прибавим константу $2$ ко всем частям полученного неравенства:

$2 - 5 \le 2 + 4\cos x - 3\sin x \le 2 + 5$

$-3 \le y \le 7$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее равно $7$. Область значений функции (обозначается как $E(y)$) — это отрезок $[-3; 7]$.

Ответ: $E(y) = [-3; 7]$.

б) $y = 3\sin x - 4\cos x + 1$

Решение аналогично предыдущему пункту. Сначала рассмотрим выражение $3\sin x - 4\cos x$. Здесь коэффициенты $a = 3$ и $b = -4$.

Вычислим амплитуду $R$:

$R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Следовательно, область значений выражения $3\sin x - 4\cos x$ есть отрезок $[-5; 5]$:

$-5 \le 3\sin x - 4\cos x \le 5$.

Теперь учтем константу $+1$ в исходной функции $y = (3\sin x - 4\cos x) + 1$. Прибавим $1$ ко всем частям неравенства:

$-5 + 1 \le 3\sin x - 4\cos x + 1 \le 5 + 1$

$-4 \le y \le 6$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-4$, а наибольшее равно $6$. Область значений функции $E(y)$ — это отрезок $[-4; 6]$.

Ответ: $E(y) = [-4; 6]$.