Номер 46.11, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$ на отрезке:

a) $[-6; 0];$

б) $[1; 2];$

в) $[-6; -1];$

г) $[0; 2].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений найти наибольшее и наименьшее.

Дана функция $y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + 3x^2 - 45x - 2)' = 3x^2 + 6x - 45$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 + 6x - 45 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -15, а их сумма равна -2. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Таким образом, критические точки функции: $x = -5$ и $x = 3$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

а) На отрезке $[-6; 0]$

Критическая точка $x = -5$ принадлежит этому отрезку, а точка $x = 3$ — нет. Следовательно, нам нужно вычислить значения функции в точках $x = -6$, $x = -5$ и $x = 0$.

• $y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 45(-6) - 2 = -216 + 3 \cdot 36 + 270 - 2 = -216 + 108 + 270 - 2 = 160$.
• $y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2 = -125 + 3 \cdot 25 + 225 - 2 = -125 + 75 + 225 - 2 = 173$.
• $y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 45 \cdot 0 - 2 = -2$.

Сравнивая значения $160$, $173$ и $-2$, находим, что наибольшее значение равно $173$, а наименьшее — $-2$.

Ответ: $y_{наиб} = 173$, $y_{наим} = -2$.

б) На отрезке $[1; 2]$

Ни одна из критических точек ($x = -5$ и $x = 3$) не принадлежит этому отрезку. Значит, функция на этом отрезке монотонна, и ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = 1$ и $x = 2$.

• $y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 45 \cdot 1 - 2 = 1 + 3 - 45 - 2 = -43$.
• $y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 45 \cdot 2 - 2 = 8 + 3 \cdot 4 - 90 - 2 = 8 + 12 - 90 - 2 = -72$.

Сравнивая значения $-43$ и $-72$, находим, что наибольшее значение равно $-43$, а наименьшее — $-72$.

Ответ: $y_{наиб} = -43$, $y_{наим} = -72$.

в) На отрезке $[-6; -1]$

Критическая точка $x = -5$ принадлежит этому отрезку, а точка $x = 3$ — нет. Вычислим значения функции в точках $x = -6$, $x = -5$ и $x = -1$.

Значения для $x=-6$ и $x=-5$ уже были вычислены в пункте а):

• $y(-6) = 160$.
• $y(-5) = 173$.
• $y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 45(-1) - 2 = -1 + 3 \cdot 1 + 45 - 2 = -1 + 3 + 45 - 2 = 45$.

Сравнивая значения $160$, $173$ и $45$, находим, что наибольшее значение равно $173$, а наименьшее — $45$.

Ответ: $y_{наиб} = 173$, $y_{наим} = 45$.

г) На отрезке $[0; 2]$

Ни одна из критических точек ($x = -5$ и $x = 3$) не принадлежит этому отрезку. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = 0$ и $x = 2$.

Эти значения уже были вычислены в предыдущих пунктах:

• $y(0) = -2$.
• $y(2) = -72$.

Сравнивая значения $-2$ и $-72$, находим, что наибольшее значение равно $-2$, а наименьшее — $-72$.

Ответ: $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -72$.