Номер 46.7, страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \begin{cases} -4x + 12, \text{ если } x < 2 \\ x^2 - 2x + 2, \text{ если } x \ge 2 \end{cases}$

на отрезке:

а) $[-3; 0];$

б) $[3; 4];$

в) $[-1; 3];$

г) $[1; 4].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений кусочно-заданной функции на отрезке, необходимо исследовать ее поведение на каждом из участков, а также в точке "склейки" $x=2$.

Функция задана как: $y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

При $x < 2$ имеем линейную функцию $y = -4x + 12$. Так как угловой коэффициент $k=-4$ отрицателен, функция на этом промежутке убывает.

При $x \ge 2$ имеем квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_в = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. Поскольку рассматриваемый промежуток $x \ge 2$ лежит правее вершины, функция на этом промежутке возрастает.

а) Найдем значения на отрезке $[-3; 0]$.

Все значения $x$ из этого отрезка удовлетворяют условию $x < 2$. Следовательно, на всем отрезке функция задается формулой $y = -4x + 12$.

Поскольку эта функция является убывающей, свое наибольшее значение на отрезке она принимает в левом конце, а наименьшее — в правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = -4 \cdot (-3) + 12 = 12 + 12 = 24$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -4 \cdot 0 + 12 = 0 + 12 = 12$.

Ответ: наибольшее значение 24, наименьшее значение 12.

б) Найдем значения на отрезке $[3; 4]$.

Все значения $x$ из этого отрезка удовлетворяют условию $x \ge 2$. Следовательно, на всем отрезке функция задается формулой $y = x^2 - 2x + 2$.

Поскольку эта функция является возрастающей на промежутке $[2; +\infty)$, она возрастает и на отрезке $[3; 4]$. Свое наименьшее значение на отрезке она принимает в левом конце, а наибольшее — в правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 + 2 = 16 - 8 + 2 = 10$.

Ответ: наибольшее значение 10, наименьшее значение 5.

в) Найдем значения на отрезке $[-1; 3]$.

Этот отрезок содержит точку $x=2$, в которой меняется формула функции. Поэтому для нахождения экстремумов нужно сравнить значения функции на концах отрезка, $y(-1)$ и $y(3)$, и значение функции в точке $x=2$.

Вычислим значения в этих точках:

• При $x = -1$ (так как $-1 < 2$): $y(-1) = -4 \cdot (-1) + 12 = 4 + 12 = 16$.
• При $x = 2$: $y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$.
• При $x = 3$ (так как $3 \ge 2$): $y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$.

Сравнивая полученные значения $\{16, 2, 5\}$, находим, что наибольшее значение равно 16, а наименьшее равно 2.

Ответ: наибольшее значение 16, наименьшее значение 2.

г) Найдем значения на отрезке $[1; 4]$.

Этот отрезок также содержит точку $x=2$. Сравним значения функции на концах отрезка, $y(1)$ и $y(4)$, и значение в точке $x=2$.

Вычислим значения в этих точках:

• При $x = 1$ (так как $1 < 2$): $y(1) = -4 \cdot 1 + 12 = -4 + 12 = 8$.
• При $x = 2$: $y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$.
• При $x = 4$ (так как $4 \ge 2$): $y(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 + 2 = 16 - 8 + 2 = 10$.

Сравнивая полученные значения $\{8, 2, 10\}$, находим, что наибольшее значение равно 10, а наименьшее равно 2.

Ответ: наибольшее значение 10, наименьшее значение 2.