Номер 46.4, страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.4. a) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

б) $y = \sqrt{1 + \sin x}$, $[0; \frac{\pi}{2}]$;

в) $y = \sqrt{1 - \sin 2x}$, $[0; \pi]$;

г) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$, $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

а) Дана функция $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
Тогда функция принимает вид: $y = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$.
На отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ (I и IV координатные четверти) косинус неотрицателен: $\cos x \ge 0$.
Следовательно, $|\cos x| = \cos x$, и функция упрощается до $y = \sqrt{2} \cos x$.
Ответ: $y = \sqrt{2} \cos x$.

б) Дана функция $y = \sqrt{1 + \sin x}$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Представим выражение под корнем в виде полного квадрата, используя тождество $1 = \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2})$ и формулу синуса двойного угла $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$:
$1 + \sin x = \sin^2(\frac{x}{2}) + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2}) = (\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}))^2$.
Тогда $y = \sqrt{(\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}))^2} = |\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})|$.
На отрезке $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, аргумент $\frac{x}{2}$ принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$. В этом диапазоне $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ и $\cos(\frac{x}{2}) > 0$, поэтому их сумма положительна.
Следовательно, модуль можно опустить: $y = \sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})$.
Ответ: $y = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}$.

в) Дана функция $y = \sqrt{1 - \sin 2x}$ на отрезке $[0; \pi]$.
Преобразуем подкоренное выражение, используя $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$1 - \sin 2x = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x - \cos x)^2$.
Тогда $y = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|$.
Для раскрытия модуля определим знак выражения $\sin x - \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$. Выражение равно нулю при $\sin x = \cos x$, что на данном отрезке соответствует $x = \frac{\pi}{4}$.
- Если $x \in [0; \frac{\pi}{4}]$, то $\cos x \ge \sin x$, значит $\sin x - \cos x \le 0$, и $|\sin x - \cos x| = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x$.
- Если $x \in (\frac{\pi}{4}; \pi]$, то $\sin x > \cos x$, значит $\sin x - \cos x > 0$, и $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$.
Функцию можно представить в кусочно-заданном виде:
$y = \begin{cases} \cos x - \sin x, & \text{при } x \in [0; \frac{\pi}{4}] \\ \sin x - \cos x, & \text{при } x \in (\frac{\pi}{4}; \pi] \end{cases}$
Ответ: $y = |\sin x - \cos x| = \begin{cases} \cos x - \sin x, & x \in [0; \frac{\pi}{4}] \\ \sin x - \cos x, & x \in (\frac{\pi}{4}; \pi] \end{cases}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.
Используем формулу $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
Функция принимает вид: $y = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$.
На отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$ (IV координатная четверть) косинус неотрицателен: $\cos x \ge 0$.
Следовательно, $|\cos x| = \cos x$, и функция упрощается до $y = \sqrt{2} \cos x$.
Ответ: $y = \sqrt{2} \cos x$.