Номер 45.14, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.14. Сколько корней имеет уравнение $x^3 + ax + 2 = 0$ при различных значениях параметра $a$?

Для определения количества корней уравнения $x^3 + ax + 2 = 0$ в зависимости от параметра $a$, исследуем функцию $f(x) = x^3 + ax + 2$. Количество действительных корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью абсцисс.

Для анализа функции найдем ее производную: $f'(x) = (x^3 + ax + 2)' = 3x^2 + a$. Поведение функции (возрастание/убывание) зависит от знака производной, который, в свою очередь, зависит от параметра $a$.

Рассмотрим два основных случая.

1. Случай $a \ge 0$.
Если $a \ge 0$, то слагаемое $3x^2$ всегда неотрицательно, поэтому производная $f'(x) = 3x^2 + a \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.
Так как функция $f(x)$ непрерывна и монотонно возрастает, а ее пределы на бесконечности $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, ее график пересекает ось $Ox$ ровно один раз. Следовательно, при $a \ge 0$ уравнение имеет ровно один действительный корень.

2. Случай $a < 0$.
Если $a < 0$, производная может менять знак. Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:
$3x^2 + a = 0 \implies 3x^2 = -a \implies x^2 = -\frac{a}{3}$.
Поскольку $a < 0$, выражение $-\frac{a}{3}$ положительно, и существуют две критические точки: $x_1 = -\sqrt{-\frac{a}{3}}$ (точка локального максимума) и $x_2 = \sqrt{-\frac{a}{3}}$ (точка локального минимума).
Количество корней зависит от знаков значений функции в точках экстремума, $y_{max} = f(x_1)$ и $y_{min} = f(x_2)$.
Количество корней определяется тем, находятся ли точки экстремума по разные стороны от оси абсцисс. Для анализа этого удобно рассмотреть произведение значений в экстремумах $y_{min} \cdot y_{max}$:
$y_{min} \cdot y_{max} = f(\sqrt{-\frac{a}{3}}) \cdot f(-\sqrt{-\frac{a}{3}}) = (2 + \frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}})(2 - \frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}) = 4 - (\frac{2a}{3})^2(-\frac{a}{3}) = 4 + \frac{4a^3}{27}$.

Теперь определим количество корней в зависимости от знака этого произведения:

• Уравнение имеет три корня, если экстремумы лежат по разные стороны от оси $Ox$, то есть $y_{min} \cdot y_{max} < 0$.
  $4 + \frac{4a^3}{27} < 0 \implies a^3 < -27 \implies a < -3$.
• Уравнение имеет два корня (один из них кратный), если один из экстремумов лежит на оси $Ox$, то есть $y_{min} \cdot y_{max} = 0$.
  $4 + \frac{4a^3}{27} = 0 \implies a^3 = -27 \implies a = -3$.
• Уравнение имеет один корень, если оба экстремума лежат по одну сторону от оси $Ox$, то есть $y_{min} \cdot y_{max} > 0$.
  $4 + \frac{4a^3}{27} > 0 \implies a^3 > -27 \implies a > -3$.
  С учетом условия $a<0$, это соответствует интервалу $-3 < a < 0$.

Объединяя результаты для $a \ge 0$ и $a < 0$, получаем итоговый вывод.

Ответ:
при $a < -3$ уравнение имеет 3 корня;
при $a = -3$ уравнение имеет 2 корня;
при $a > -3$ уравнение имеет 1 корень.