Номер 45.8, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.8. a) $y = 2\sqrt{x} - x;$

б) $y = \sqrt{x + 4} + \frac{2}{3}\sqrt{9 - 3x}.$

а) $y = 2\sqrt{x} - x$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции исследуем ее с помощью производной.

1. Область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Таким образом, область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$y' = (2\sqrt{x} - x)' = (2x^{1/2} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$.

3. Найдем критические точки функции.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит области определения функции.

4. Исследуем знак производной.

Разобьем область определения $(0, +\infty)$ точкой $x=1$ на интервалы $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

На интервале $(0, 1)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0.25$, $y' = \frac{1}{\sqrt{0.25}} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$), значит, функция возрастает.

На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=4$, $y' = \frac{1}{\sqrt{4}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -0.5 < 0$), значит, функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

Поскольку в точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «?», эта точка является точкой максимума.

6. Найдем наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение функция достигает в точке максимума $x=1$:

$y_{max} = y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Так как при $x \to +\infty$ значение функции $y = 2\sqrt{x} - x = \sqrt{x}(2-\sqrt{x}) \to -\infty$, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения у нее нет.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшего значения не существует.

б) $y = \sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции исследуем ее на заданном отрезке.

1. Область определения функции.

Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 9-3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ -3x \ge -9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 3 \end{cases}$.

Таким образом, область определения $D(y) = [-4, 3]$.

2. Найдем производную функции.

$y' = (\sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x})' = \frac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{(9-3x)'}{2\sqrt{9-3x}} = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{-3}{2\sqrt{9-3x}} = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}}$.

3. Найдем критические точки функции.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}} = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = \frac{1}{\sqrt{9-3x}}$.

Отсюда $2\sqrt{x+4} = \sqrt{9-3x}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4(x+4) = 9-3x$

$4x + 16 = 9 - 3x$

$7x = -7 \implies x = -1$.

Критическая точка $x=-1$ принадлежит области определения $[-4, 3]$.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке.

Функция непрерывна на замкнутом отрезке $[-4, 3]$, поэтому свое наибольшее и наименьшее значение она принимает либо в критической точке $x=-1$, либо на концах отрезка $x=-4$ и $x=3$.

При $x = -4$: $y(-4) = \sqrt{-4+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-4)} = 0 + \frac{2}{3}\sqrt{9+12} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

При $x = -1$: $y(-1) = \sqrt{-1+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-1)} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}\sqrt{9+3} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}\sqrt{12} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}(2\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{3} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

При $x = 3$: $y(3) = \sqrt{3+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(3)} = \sqrt{7} + \frac{2}{3}\sqrt{0} = \sqrt{7}$.

5. Сравним полученные значения.

Сравним значения $\frac{2\sqrt{21}}{3}$, $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ и $\sqrt{7}$. Для удобства сравнения возведем их в квадрат:

$(\frac{2\sqrt{21}}{3})^2 = \frac{4 \cdot 21}{9} = \frac{84}{9} = \frac{28}{3} \approx 9.33$.

$(\frac{7\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{49 \cdot 3}{9} = \frac{147}{9} = \frac{49}{3} \approx 16.33$.

$(\sqrt{7})^2 = 7$.

Так как $\frac{49}{3} > \frac{28}{3} > 7$, то $y(-1) > y(-4) > y(3)$.

Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = y(-1) = \frac{7\sqrt{3}}{3}$, а наименьшее значение $y_{min} = y(3) = \sqrt{7}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{7\sqrt{3}}{3}$, наименьшее значение равно $\sqrt{7}$.