Номер 45.11, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.11. а) Постройте график функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ имеет три корня?

а)

Для построения графика функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ проведем ее исследование.

1. Область определения функции.

   Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

   Проверим, является ли функция четной или нечетной.

   $y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = y(x)$.

   Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Нахождение точек экстремума и промежутков монотонности.

   Найдем производную функции $y'$:

   $y' = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$.

   Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   $4x^3 - 4x = 0$

   $4x(x^2 - 1) = 0$

   $4x(x - 1)(x + 1) = 0$

   Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

   Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось:

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
   • При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
   • При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

   Теперь найдем значения функции в точках экстремума:

   • В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Точка минимума $(-1, 2)$.
   • В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$. Точка максимума $(0, 3)$.
   • В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Точка минимума $(1, 2)$.

4. Построение графика.

   На основе полученных данных можно построить график. Он симметричен относительно оси Oy, имеет две точки минимума $(-1, 2)$ и $(1, 2)$, а также точку максимума $(0, 3)$. График не пересекает ось Ox, так как минимальное значение функции равно 2. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. График имеет характерную W-образную форму.

Ответ: График функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ — это симметричная относительно оси Oy кривая, имеющая точки минимума $(-1, 2)$ и $(1, 2)$ и точку максимума $(0, 3)$.

б)

Вопрос о количестве корней уравнения $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ можно решить графически. Корни этого уравнения — это абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$, построенного в пункте а), и горизонтальной прямой $y = a$.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$, используя ключевые точки графика, найденные ранее (точки экстремумов):

• Если $a < 2$ (прямая $y=a$ проходит ниже точек минимума), то точек пересечения нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 2$ (прямая $y=a$ касается графика в двух точках минимума), то есть две точки пересечения. Уравнение имеет два корня ($x=-1$ и $x=1$).
• Если $2 < a < 3$ (прямая $y=a$ проходит между точками минимума и точкой максимума), то есть четыре точки пересечения. Уравнение имеет четыре корня.
• Если $a = 3$ (прямая $y=a$ проходит через точку максимума $(0, 3)$), то есть три точки пересечения: одна в точке максимума ($x=0$) и две другие симметрично относительно оси Oy. Уравнение имеет три корня.
• Если $a > 3$ (прямая $y=a$ проходит выше точки максимума), то есть две точки пересечения. Уравнение имеет два корня.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня только в том случае, когда значение параметра $a$ совпадает со значением функции в точке локального максимума.

$a = y_{max} = 3$.

Ответ: $a=3$.