Номер 45.6, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.6. a) $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$, преобразуем данное выражение. Выделим целую часть в дроби, добавив и вычтя 1 в числителе:

$y = \frac{x^2 + 1 - 1 - 1}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$

Теперь оценим, какие значения может принимать выражение $\frac{2}{x^2 + 1}$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то знаменатель $x^2 + 1 \ge 1$.

Отсюда для дроби $\frac{1}{x^2 + 1}$ получаем оценку: $0 < \frac{1}{x^2 + 1} \le 1$.

Умножив все части неравенства на 2, получим: $0 < \frac{2}{x^2 + 1} \le 2$.

Мы получили, что из 1 вычитается число, которое строго больше 0 и меньше или равно 2.

Найдем границы для $y$:

Минимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое максимально, то есть равно 2 (при $x=0$): $y_{min} = 1 - 2 = -1$.

Максимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое минимально. Выражение $\frac{2}{x^2+1}$ стремится к 0 при $x \to \pm\infty$, но никогда его не достигает. Следовательно, $y$ будет стремиться к $1 - 0 = 1$, но никогда не будет равно 1.

Таким образом, область значений функции — это промежуток от -1 (включительно) до 1 (не включительно).

Ответ: $E(y) = [-1, 1)$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$, используем аналогичный метод. Выделим целую часть, добавив и вычтя 4 в числителе:

$y = \frac{x^2 + 4 - 4 - 4}{x^2 + 4} = \frac{(x^2 + 4) - 8}{x^2 + 4} = \frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} - \frac{8}{x^2 + 4} = 1 - \frac{8}{x^2 + 4}$

Оценим значения, которые может принимать выражение $\frac{8}{x^2 + 4}$.

Так как $x^2 \ge 0$, то знаменатель $x^2 + 4 \ge 4$.

Тогда для дроби $\frac{1}{x^2 + 4}$ справедлива оценка: $0 < \frac{1}{x^2 + 4} \le \frac{1}{4}$.

Умножим все части неравенства на 8: $0 < \frac{8}{x^2 + 4} \le \frac{8}{4}$, то есть $0 < \frac{8}{x^2 + 4} \le 2$.

Мы получили, что из 1 вычитается число из полуинтервала $(0, 2]$.

Найдем границы для $y$:

Минимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое максимально, то есть равно 2 (при $x=0$): $y_{min} = 1 - 2 = -1$.

Максимальное значение $y$ достигается, когда вычитаемое минимально. Выражение $\frac{8}{x^2+4}$ стремится к 0 при $x \to \pm\infty$, но не достигает этого значения. Значит, $y$ будет стремиться к $1 - 0 = 1$, но не будет равно 1.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от -1 (включительно) до 1 (не включительно).

Ответ: $E(y) = [-1, 1)$.