Номер 45.2, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию и постройте её график:

O45.2.

a) $y = \frac{-1}{x^2 + 4x + 4}$

б) $y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1}$

Исследуем функцию $y = \frac{-1}{x^2 + 4x + 4}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу квадрата суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{-1}{(x+2)^2}$. Проведем исследование по стандартному плану.

1. Область определения функции.

   Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

   $(x+2)^2 = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.

   Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции.

   Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{-1}{(-x+2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$.

   Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Однако, график функции симметричен относительно вертикальной прямой $x=-2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{-1}{(0+2)^2} = -\frac{1}{4}$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1/4)$.

   • С осью Ox (при $y=0$): $\frac{-1}{(x+2)^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox. Так как знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен (при $x \neq -2$), а числитель отрицателен, то $y < 0$ на всей области определения. График полностью лежит ниже оси Ox.

4. Асимптоты графика.

   • Вертикальная асимптота. В точке разрыва $x=-2$ найдем пределы:

     $\lim_{x \to -2^-} \frac{-1}{(x+2)^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$

     $\lim_{x \to -2^+} \frac{-1}{(x+2)^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$

     Прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

   • Горизонтальная асимптота. Найдем пределы при $x \to \pm\infty$:

     $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1}{x^2 + 4x + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1/x^2}{1 + 4/x + 4/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

     Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную функции: $y' = \left( -(x+2)^{-2} \right)' = -(-2)(x+2)^{-3} \cdot (x+2)' = 2(x+2)^{-3} = \frac{2}{(x+2)^3}$.

   Производная не равна нулю ни при каких $x$. Критических точек нет. Знак производной зависит от знака выражения $(x+2)^3$.

   • Если $x < -2$, то $x+2 < 0$, и $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(-\infty, -2)$.

   • Если $x > -2$, то $x+2 > 0$, и $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(-2, +\infty)$.

   Точек экстремума у функции нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = \left( 2(x+2)^{-3} \right)' = 2(-3)(x+2)^{-4} \cdot (x+2)' = -6(x+2)^{-4} = \frac{-6}{(x+2)^4}$.

   Знаменатель $(x+2)^4$ всегда положителен при $x \neq -2$. Числитель -6 отрицателен. Таким образом, $y'' < 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что график функции является выпуклым вверх на обоих интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, +\infty)$.

   Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

   На основе проведенного анализа, можно построить график. График состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=-2$. Обе ветви лежат ниже горизонтальной асимптоты $y=0$. Слева от асимптоты ($x < -2$) график убывает от $y=0$ до $-\infty$. Справа от асимптоты ($x > -2$) график возрастает от $-\infty$ до $y=0$. График проходит через точки $(0, -1/4)$, $(-1, -1)$, $(-3, -1)$, $(-4, -1/4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{-1}{(x+2)^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в третьей и четвертой координатных четвертях. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox). Функция убывает на интервале $(-\infty; -2)$ и возрастает на интервале $(-2; +\infty)$. Экстремумов нет. График всюду выпуклый вверх. Пересечение с осью Oy в точке $(0; -1/4)$.

Исследуем функцию $y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1}$.

Преобразуем знаменатель по формуле квадрата суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{1}{(x+1)^2}$. Проведем исследование.

1. Область определения функции.

   Знаменатель обращается в ноль при $(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$.

   Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции.

   Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{1}{(-x+1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2}$.

   Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида. График симметричен относительно прямой $x=-1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{1}{(0+1)^2} = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

   • С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{(x+1)^2} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox. Так как $(x+1)^2 > 0$ при $x \neq -1$, то $y > 0$ на всей области определения. График полностью лежит выше оси Ox.

4. Асимптоты графика.

   • Вертикальная асимптота. В точке разрыва $x=-1$ найдем пределы:

     $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{+0} = +\infty$.

     Прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

   • Горизонтальная асимптота. Найдем пределы при $x \to \pm\infty$:

     $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x^2}{1 + 2/x + 1/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

     Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную: $y' = \left( (x+1)^{-2} \right)' = -2(x+1)^{-3} \cdot (x+1)' = -2(x+1)^{-3} = \frac{-2}{(x+1)^3}$.

   Производная не равна нулю. Знак производной зависит от знака $(x+1)^3$.

   • Если $x < -1$, то $x+1 < 0$, и $y' = \frac{-2}{\text{отриц.}} > 0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$.

   • Если $x > -1$, то $x+1 > 0$, и $y' = \frac{-2}{\text{полож.}} < 0$. Функция убывает на интервале $(-1, +\infty)$.

   Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = \left( -2(x+1)^{-3} \right)' = -2(-3)(x+1)^{-4} = 6(x+1)^{-4} = \frac{6}{(x+1)^4}$.

   Знаменатель $(x+1)^4$ и числитель 6 всегда положительны. Таким образом, $y'' > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что график функции является выпуклым вниз (вогнутым) на обоих интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$.

   Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

   График состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=-1$. Обе ветви лежат выше горизонтальной асимптоты $y=0$. Слева от асимптоты ($x < -1$) график возрастает от $y=0$ до $+\infty$. Справа от асимптоты ($x > -1$) график убывает от $+\infty$ до $y=0$. График проходит через точки $(0, 1)$, $(-2, 1)$, $(1, 1/4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{(x+1)^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty; -1)$ и убывает на интервале $(-1; +\infty)$. Экстремумов нет. График всюду выпуклый вниз. Пересечение с осью Oy в точке $(0; 1)$.