Номер 44.72, страница 277, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

44.72. a) $ \arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x $;

б) $ \text{arctg} x + \text{arcctg} x = \frac{\pi}{2} $.

а)

Докажем тождество $\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x$. Данное тождество определено для всех $x$ из области определения функций $\arcsin$ и $\arccos$, то есть при $x \in [-1, 1]$. Преобразуем тождество к более удобному для доказательства виду: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

Пусть $\alpha = \arcsin x$. По определению арксинуса это означает, что: $\sin \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$. Подставив $\sin \alpha = x$, получим: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$.

Теперь нам нужно найти, в каком диапазоне находится угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Так как $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, умножим неравенство на $-1$: $\frac{\pi}{2} \ge -\alpha \ge -\frac{\pi}{2}$. Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \ge \frac{\pi}{2} - \alpha \ge \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $0 \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \pi$.

Полученный промежуток $[0, \pi]$ является областью значений функции арккосинус. Следовательно, из равенства $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$ и того, что $\frac{\pi}{2} - \alpha \in [0, \pi]$, по определению арккосинуса следует: $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

Подставим обратно значение $\alpha = \arcsin x$: $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$. Перенеся $\arcsin x$ в левую часть, получим: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Это доказывает исходное тождество.

Ответ: Тождество $\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x$ доказано.

б)

Докажем тождество $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$. Данное тождество определено для всех $x$ из области определения функций $\arctan$ и $\operatorname{arccot}$, то есть при $x \in (-\infty, +\infty)$.

Пусть $\beta = \arctan x$. По определению арктангенса это означает, что: $\tan \beta = x$ и $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = \tan \beta$. Подставив $\tan \beta = x$, получим: $\cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = x$.

Теперь найдем диапазон для угла $(\frac{\pi}{2} - \beta)$. Так как $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$, умножим неравенство на $-1$: $\frac{\pi}{2} > -\beta > -\frac{\pi}{2}$. Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{2} - \beta > \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $0 < \frac{\pi}{2} - \beta < \pi$.

Полученный промежуток $(0, \pi)$ является областью значений функции арккотангенс. Следовательно, из равенства $\cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = x$ и того, что $\frac{\pi}{2} - \beta \in (0, \pi)$, по определению арккотангенса следует: $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \beta$.

Подставим обратно значение $\beta = \arctan x$: $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$. Перенеся $\arctan x$ в левую часть, получим: $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ доказано.