Номер 44.68, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.68. a) $y = (x - 1)^2(x + 2);$

б) $y = \frac{256}{9}x(x - 1)^3;$

В) $y = (x + 2)^2(x - 3);$

Г) $y = x^3(2 - x).$

а) $y = (x - 1)^2(x + 2)$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = ((x-1)^2)'(x+2) + (x-1)^2(x+2)' = 2(x-1)(x-1)'(x+2) + (x-1)^2 \cdot 1$
$y' = 2(x-1)(x+2) + (x-1)^2$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$y' = (x-1)(2(x+2) + (x-1)) = (x-1)(2x+4+x-1) = (x-1)(3x+3) = 3(x-1)(x+1)$.

3. Критические точки.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$y' = 0 \implies 3(x-1)(x+1) = 0$
Критическими точками являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Промежутки монотонности.
Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $y'(-2) = 3(-2-1)(-2+1) = 3(-3)(-1) = 9 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-1; 1)$, например $x=0$: $y'(0) = 3(0-1)(0+1) = 3(-1)(1) = -3 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$: $y'(2) = 3(2-1)(2+1) = 3(1)(3) = 9 > 0$. Функция возрастает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = (-1-1)^2(-1+2) = (-2)^2 \cdot 1 = 4$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = (1-1)^2(1+2) = 0 \cdot 3 = 0$.

Ответ:
Точка максимума: $(-1, 4)$.
Точка минимума: $(1, 0)$.
Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $[-1, 1]$.

б) $y = \frac{256}{9}x(x - 1)^3$

1. Область определения.
Функция является многочленом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
$y' = \frac{256}{9} \left( (x)'(x-1)^3 + x((x-1)^3)' \right) = \frac{256}{9} \left( 1 \cdot (x-1)^3 + x \cdot 3(x-1)^2 \right)$
Вынесем общий множитель $(x-1)^2$ за скобки:
$y' = \frac{256}{9}(x-1)^2 ( (x-1) + 3x ) = \frac{256}{9}(x-1)^2(4x - 1)$.

3. Критические точки.
$y' = 0 \implies \frac{256}{9}(x-1)^2(4x - 1) = 0$
Критическими точками являются $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{1}{4}$.

4. Промежутки монотонности.
Интервалы: $(-\infty; 1/4)$, $(1/4; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак $y'$ зависит от знака $(4x-1)$, так как множитель $(x-1)^2 \ge 0$.

• При $x \in (-\infty; 1/4)$, $4x-1 < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1/4; 1)$, $4x-1 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $4x-1 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = 1/4$ производная меняет знак с «?» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(1/4) = \frac{256}{9} \cdot \frac{1}{4} \left(\frac{1}{4} - 1\right)^3 = \frac{64}{9} \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{27}{64}\right) = -3$.
• В точке $x = 1$ производная не меняет знак, поэтому экстремума нет. Это точка перегиба с горизонтальной касательной.

Ответ:
Точка минимума: $(1/4, -3)$.
Точек максимума нет.
Функция возрастает на промежутке $[1/4, +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1/4]$.

в) $y = (x + 2)^2(x - 3)$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
$y' = ((x+2)^2)'(x-3) + (x+2)^2(x-3)' = 2(x+2)(x-3) + (x+2)^2$
$y' = (x+2)(2(x-3) + (x+2)) = (x+2)(2x-6+x+2) = (x+2)(3x-4)$.

3. Критические точки.
$y' = 0 \implies (x+2)(3x-4) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{4}{3}$.

4. Промежутки монотонности.
Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 4/3)$, $(4/3; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$: $y'(-3) = (-3+2)(3(-3)-4) = (-1)(-13) = 13 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-2; 4/3)$, например $x=0$: $y'(0) = (0+2)(3(0)-4) = 2(-4) = -8 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (4/3; +\infty)$, например $x=2$: $y'(2) = (2+2)(3(2)-4) = 4(2) = 8 > 0$. Функция возрастает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «?», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2+2)^2(-2-3) = 0 \cdot (-5) = 0$.
• В точке $x = 4/3$ производная меняет знак с «?» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(4/3) = \left(\frac{4}{3}+2\right)^2\left(\frac{4}{3}-3\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^2\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{100}{9} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{500}{27}$.

Ответ:
Точка максимума: $(-2, 0)$.
Точка минимума: $(4/3, -500/27)$.
Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[4/3, +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $[-2, 4/3]$.

г) $y = x^3(2 - x)$

1. Область определения.
Раскроем скобки для удобства: $y = 2x^3 - x^4$. Это многочлен, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции.
$y' = (2x^3 - x^4)' = 6x^2 - 4x^3 = 2x^2(3 - 2x)$.

3. Критические точки.
$y' = 0 \implies 2x^2(3 - 2x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{3}{2}$.

4. Промежутки монотонности.
Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 3/2)$, $(3/2; +\infty)$. Знак $y'$ зависит от знака $(3-2x)$, так как $2x^2 \ge 0$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $3-2x > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 3/2)$, $3-2x > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3/2; +\infty)$, $3-2x < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает.

5. Точки экстремума.

• В точке $x = 3/2$ производная меняет знак с «+» на «?», это точка локального максимума. $y_{max} = y(3/2) = \left(\frac{3}{2}\right)^3\left(2 - \frac{3}{2}\right) = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{16}$.
• В точке $x=0$ производная не меняет знак, экстремума нет.

Ответ:
Точка максимума: $(3/2, 27/16)$.
Точек минимума нет.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3/2]$.
Функция убывает на промежутке $[3/2, +\infty)$.