Номер 44.67, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.67. a) $y = -x^4 + 5x^2 - 4$;

б) $y = x^5 - 5x$;

В) $y = 2x^4 - 9x^2 + 7$;

Г) $y = 5x^3 - 3x^5$.

а) $y = -x^4 + 5x^2 - 4$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = -(-x)^4 + 5(-x)^2 - 4 = -x^4 + 5x^2 - 4 = y(x)$.
Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y = -4$. Точка $(0, -4)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $-x^4 + 5x^2 - 4 = 0$. Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 4$.
Возвращаясь к замене: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$; $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(2, 0)$.

4. Асимптоты.
Так как функция — многочлен, асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную: $y' = -4x^3 + 10x = -2x(2x^2 - 5)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0$, $x=\pm\sqrt{5/2} \approx \pm 1.58$.
- $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{5/2}) \cup (0, \sqrt{5/2})$ — функция возрастает.
- $y' < 0$ при $x \in (-\sqrt{5/2}, 0) \cup (\sqrt{5/2}, +\infty)$ — функция убывает.
В точке $x=-\sqrt{5/2}$ — максимум. $y_{max} = y(-\sqrt{5/2}) = -(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2}) - 4 = \frac{9}{4} = 2.25$.
В точке $x=0$ — минимум. $y_{min} = y(0) = -4$.
В точке $x=\sqrt{5/2}$ — максимум. $y_{max} = y(\sqrt{5/2}) = \frac{9}{4} = 2.25$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = -12x^2 + 10$.
Точки перегиба ($y''=0$): $x^2 = 10/12 = 5/6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5/6} \approx \pm 0.91$.
- $y'' < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{5/6}) \cup (\sqrt{5/6}, +\infty)$ — график выпуклый вверх.
- $y'' > 0$ при $x \in (-\sqrt{5/6}, \sqrt{5/6})$ — график выпуклый вниз.
Точки перегиба: $x = \pm\sqrt{5/6}$. Значение функции в этих точках: $y(\pm\sqrt{5/6}) = -(\frac{5}{6})^2 + 5(\frac{5}{6}) - 4 = -\frac{19}{36}$.

Ответ: Функция четная. Возрастает на $(-\infty; -\sqrt{5/2}]$ и $[0; \sqrt{5/2}]$, убывает на $[-\sqrt{5/2}; 0]$ и $[\sqrt{5/2}; +\infty)$. Точки локального максимума: $(-\sqrt{5/2}, 9/4)$ и $(\sqrt{5/2}, 9/4)$. Точка локального минимума: $(0, -4)$. График выпуклый вниз на $(-\sqrt{5/6}, \sqrt{5/6})$ и выпуклый вверх на $(-\infty; -\sqrt{5/6}) \cup (\sqrt{5/6}; +\infty)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{5/6}, -19/36)$. Пересечение с осями: $(\pm 1, 0)$, $(\pm 2, 0)$, $(0, -4)$.

б) $y = x^5 - 5x$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = (-x)^5 - 5(-x) = -x^5 + 5x = -(x^5 - 5x) = -y(x)$.
Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $x^5 - 5x = 0 \Rightarrow x(x^4 - 5) = 0$.
Корни: $x=0$, $x = \pm\sqrt[4]{5} \approx \pm 1.5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt[4]{5}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt[4]{5}, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = 5x^4 - 5 = 5(x^2-1)(x^2+1) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=\pm 1$.
- $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ — функция возрастает.
- $y' < 0$ при $x \in (-1, 1)$ — функция убывает.
В точке $x=-1$ — максимум. $y_{max} = y(-1) = (-1)^5 - 5(-1) = 4$.
В точке $x=1$ — минимум. $y_{min} = y(1) = 1^5 - 5(1) = -4$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$y'' = 20x^3$.
Точка перегиба ($y''=0$): $x=0$.
- $y'' < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$ — график выпуклый вверх.
- $y'' > 0$ при $x \in (0, +\infty)$ — график выпуклый вниз.
Точка перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: Функция нечетная. Возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[-1; 1]$. Точка локального максимума: $(-1, 4)$. Точка локального минимума: $(1, -4)$. График выпуклый вниз на $(0, +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$. Точка перегиба: $(0, 0)$. Пересечение с осями: $(0, 0)$, $(\pm\sqrt[4]{5}, 0)$.

в) $y = 2x^4 - 9x^2 + 7$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = 2(-x)^4 - 9(-x)^2 + 7 = 2x^4 - 9x^2 + 7 = y(x)$.
Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=7$. Точка $(0, 7)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $2x^4 - 9x^2 + 7 = 0$. Пусть $t=x^2$, $t \ge 0$. Уравнение $2t^2 - 9t + 7 = 0$. Корни $t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4} = \frac{9 \pm 5}{4}$, то есть $t_1 = 1$, $t_2 = 7/2$.
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$; $x^2 = 7/2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7/2}$.
Точки пересечения: $(\pm\sqrt{7/2}, 0)$, $(\pm 1, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = 8x^3 - 18x = 2x(4x^2 - 9)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0$, $x=\pm 3/2 = \pm 1.5$.
- $y' > 0$ при $x \in (-3/2, 0) \cup (3/2, +\infty)$ — функция возрастает.
- $y' < 0$ при $x \in (-\infty, -3/2) \cup (0, 3/2)$ — функция убывает.
В точке $x=-3/2$ — минимум. $y_{min} = 2(\frac{3}{2})^4 - 9(\frac{3}{2})^2 + 7 = 2\frac{81}{16} - 9\frac{9}{4} + 7 = \frac{81}{8} - \frac{81}{4} + 7 = \frac{81-162+56}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
В точке $x=0$ — максимум. $y_{max} = y(0) = 7$.
В точке $x=3/2$ — минимум. $y_{min} = -25/8 = -3.125$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$y'' = 24x^2 - 18 = 6(4x^2 - 3)$.
Точки перегиба ($y''=0$): $x^2 = 3/4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}/2 \approx \pm 0.87$.
- $y'' > 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}/2) \cup (\sqrt{3}/2, +\infty)$ — график выпуклый вниз.
- $y'' < 0$ при $x \in (-\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2)$ — график выпуклый вверх.
Точки перегиба: $x = \pm\sqrt{3}/2$. $y(\pm\sqrt{3}/2) = 2(\frac{3}{4})^2 - 9(\frac{3}{4}) + 7 = 2\frac{9}{16} - \frac{27}{4} + 7 = \frac{9}{8} - \frac{54}{8} + \frac{56}{8} = \frac{11}{8} = 1.375$.

Ответ: Функция четная. Убывает на $(-\infty; -3/2]$ и $[0; 3/2]$, возрастает на $[-3/2; 0]$ и $[3/2; +\infty)$. Точки локального минимума: $(\pm 3/2, -25/8)$. Точка локального максимума: $(0, 7)$. График выпуклый вверх на $(-\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2)$ и выпуклый вниз на $(-\infty; -\sqrt{3}/2) \cup (\sqrt{3}/2; +\infty)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{3}/2, 11/8)$. Пересечение с осями: $(\pm 1, 0)$, $(\pm\sqrt{7/2}, 0)$, $(0, 7)$.

г) $y = 5x^3 - 3x^5$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
$y(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -(5x^3 - 3x^5) = -y(x)$.
Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $5x^3 - 3x^5 = 0 \Rightarrow x^3(5 - 3x^2) = 0$.
Корни: $x=0$, $x^2 = 5/3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{5/3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) = 15x^2(1-x)(1+x)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0$, $x=\pm 1$.
- $y' < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ — функция убывает.
- $y' > 0$ при $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ — функция возрастает. Точка $x=0$ не является точкой экстремума.
В точке $x=-1$ — минимум. $y_{min} = 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = -5 + 3 = -2$.
В точке $x=1$ — максимум. $y_{max} = 5(1)^3 - 3(1)^5 = 5 - 3 = 2$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$y'' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.
Точки перегиба ($y''=0$): $x=0$, $x^2 = 1/2 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{2} \approx \pm 0.707$.
- $y'' > 0$ при $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2}) \cup (0, 1/\sqrt{2})$ — график выпуклый вниз.
- $y'' < 0$ при $x \in (-1/\sqrt{2}, 0) \cup (1/\sqrt{2}, +\infty)$ — график выпуклый вверх.
Точки перегиба: $x=0$, $x=\pm 1/\sqrt{2}$.
$y(0)=0$.
$y(1/\sqrt{2}) = 5(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - 3(\frac{1}{\sqrt{2}})^5 = \frac{5}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{10-3}{4\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$.
$y(-1/\sqrt{2}) = -7\sqrt{2}/8$.

Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, возрастает на $[-1; 1]$. Точка локального минимума: $(-1, -2)$. Точка локального максимума: $(1, 2)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, -1/\sqrt{2}) \cup (0, 1/\sqrt{2})$ и выпуклый вверх на $(-1/\sqrt{2}, 0) \cup (1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба: $(0, 0)$, $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm 7\sqrt{2}/8)$. Пересечение с осями: $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.