Номер 45.13, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.13. Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр a:

а) $x^3 - 3x^2 = a$, $-4 < a < 0$;

б) $-x^3 + 3x^2 - 2 = a$, $a < -2$;

в) $3x^2 - x^3 = a$, $0 < a < 4$;

г) $x^3 - 3x^2 + 2 = a$, $a > 2$?

а) Чтобы определить количество корней уравнения $x^3 - 3x^2 = a$, исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$. Количество корней будет равно числу точек пересечения графика этой функции с горизонтальной прямой $y = a$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x(x - 2) = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Определим интервалы монотонности функции:
- на интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает;
- на интервале $(0; 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает;
- на интервале $(2; \infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
Точка $x=0$ является точкой локального максимума, а $x=2$ — точкой локального минимума.
Вычислим значения функции в точках экстремума:
- Локальный максимум: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$.
- Локальный минимум: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$.
Уравнение будет иметь три корня, когда значение параметра $a$ находится строго между значениями локального минимума и максимума, то есть при $-4 < a < 0$. Это полностью соответствует заданному условию.
Ответ: 3 корня.

б) Рассмотрим уравнение $-x^3 + 3x^2 - 2 = a$. Проанализируем функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (-x^3 + 3x^2 - 2)' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
Критические точки функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Определим интервалы монотонности:
- на интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на интервале $(0; 2)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает;
- на интервале $(2; \infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
Следовательно, $x=0$ — точка локального минимума, а $x=2$ — точка локального максимума.
Найдем значения функции в точках экстремума:
- Локальный минимум: $f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$.
- Локальный максимум: $f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$.
Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=a$ пересекает график функции один раз. Это происходит, когда $a$ меньше значения локального минимума ($a < -2$) или больше значения локального максимума ($a > 2$).
Согласно условию, $a < -2$, что соответствует области, где уравнение имеет один корень.
Ответ: 1 корень.

в) Рассмотрим уравнение $3x^2 - x^3 = a$, которое можно переписать как $-x^3 + 3x^2 = a$. Исследуем функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2$.
Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 + 3x^2)' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Интервалы монотонности:
- на $(-\infty; 0)$ функция убывает ($f'(x) < 0$);
- на $(0; 2)$ функция возрастает ($f'(x) > 0$);
- на $(2; \infty)$ функция убывает ($f'(x) < 0$).
Таким образом, $x=0$ — точка локального минимума, а $x=2$ — точка локального максимума.
Значения в точках экстремума:
- Локальный минимум: $f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 = 0$.
- Локальный максимум: $f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 12 = 4$.
Три корня существуют, когда значение $a$ находится между значениями экстремумов: $0 < a < 4$. Условие задачи полностью совпадает с этим интервалом.
Ответ: 3 корня.

г) Рассмотрим уравнение $x^3 - 3x^2 + 2 = a$. Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.
Найдем производную: $f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Интервалы монотонности:
- на $(-\infty; 0)$ функция возрастает ($f'(x) > 0$);
- на $(0; 2)$ функция убывает ($f'(x) < 0$);
- на $(2; \infty)$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).
Следовательно, $x=0$ — точка локального максимума, а $x=2$ — точка локального минимума.
Значения в точках экстремума:
- Локальный максимум: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$.
- Локальный минимум: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$.
Уравнение имеет один корень, когда $a$ больше значения локального максимума ($a > 2$) или меньше значения локального минимума ($a < -2$).
По условию $a > 2$, что соответствует одному корню.
Ответ: 1 корень.