Номер 45.12, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.12. а) Постройте график функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ не имеет корней?

a) Постройте график функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$.

Для построения графика функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ исследуем ее свойства. Во-первых, определим область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Во-вторых, проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -(-x)^4 + 2(-x)^2 + 8 = -x^4 + 2x^2 + 8 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Данная функция является биквадратной. Чтобы упростить анализ, введем замену переменной $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. После замены получим квадратичную функцию от переменной $t$: $y(t) = -t^2 + 2t + 8$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный). Найдем ее вершину. Координата вершины по оси абсцисс: $t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$. Это значение удовлетворяет условию $t \ge 0$. Ордината вершины: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$. Вершина параболы $y(t)$ находится в точке $(1, 9)$. Это точка максимума для функции $y(t)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Максимальное значение функции $y(x)$ равно 9 и достигается при $t=1$, то есть при $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ и $x = -1$. Следовательно, точки $(-1, 9)$ и $(1, 9)$ являются точками максимума исходной функции. Найдем точку пересечения графика с осью OY. Для этого подставим $x=0$: $y(0) = -0^4 + 2 \cdot 0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$ является точкой пересечения с осью OY, а также точкой локального минимума.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью OX), решив уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = 0$. С заменой $t=x^2$ получаем квадратное уравнение $-t^2 + 2t + 8 = 0$, или $t^2 - 2t - 8 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. $t_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2} = 4$. $t_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2} = -2$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним. Из $t_1 = 4$ следует $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Таким образом, график функции пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

На основе полученных данных можно построить эскиз графика. Ключевые точки для построения: точки максимума $(-1, 9)$ и $(1, 9)$, точка локального минимума $(0, 8)$ и нули функции $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Учитывая симметрию относительно оси OY и то, что при $x \to \pm \infty$ функция $y \to -\infty$, соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, с двумя точками максимума $(-1, 9)$ и $(1, 9)$, точкой локального минимума $(0, 8)$ и двумя точками пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ не имеет корней?

Количество корней уравнения $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Из пункта а) мы установили, что функция $y = -x^4 + 2x^2 + 8$ имеет наибольшее (максимальное) значение, равное 9. Это означает, что область значений функции — это промежуток $E(y) = (-\infty, 9]$.

Уравнение не будет иметь корней, если прямая $y = a$ не будет иметь ни одной общей точки с графиком функции. Это произойдет в том случае, если значение $a$ будет больше максимального значения функции.

Поскольку максимальное значение функции равно 9, то при $a > 9$ прямая $y = a$ будет расположена полностью выше графика, и, следовательно, пересечений не будет.

Ответ: Уравнение не имеет корней при $a \in (9; +\infty)$.