Номер 46.13, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1$ на отрезке:

а) $[-1; 2];$

б) $[1; 6];$

в) $[-2; 3];$

г) $[1; 7].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки функции, решив уравнение $y'(x) = 0$.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения: самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

Задана функция $y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1$.

1. Найдем ее производную:

$y'(x) = (x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1)' = 4x^3 - 24x^2 + 20x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 24x^2 + 20x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 6x + 5) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

и

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Корни квадратного уравнения: $x_2 = 1$ и $x_3 = 5$.

Таким образом, мы получили три критические точки: $x = 0$, $x = 1$, $x = 5$.

Теперь рассмотрим каждый из заданных отрезков.

а) Отрезок $[-1; 2]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=-1$, $x=2$) и в этих критических точках:

$y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^3 + 10(-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$

$y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1$

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(2) = 2^4 - 8(2)^3 + 10(2)^2 + 1 = 16 - 8(8) + 10(4) + 1 = 16 - 64 + 40 + 1 = -7$

Среди полученных значений $\{20, 1, 4, -7\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -7, наибольшее значение функции 20.

б) Отрезок $[1; 6]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=1$ и $x=5$. Точка $x=1$ также является концом отрезка.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=1$, $x=6$) и в критической точке $x=5$:

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(5) = 5^4 - 8(5)^3 + 10(5)^2 + 1 = 625 - 8(125) + 10(25) + 1 = 625 - 1000 + 250 + 1 = -124$

$y(6) = 6^4 - 8(6)^3 + 10(6)^2 + 1 = 1296 - 8(216) + 10(36) + 1 = 1296 - 1728 + 360 + 1 = -71$

Среди полученных значений $\{4, -124, -71\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -124, наибольшее значение функции 4.

в) Отрезок $[-2; 3]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=-2$, $x=3$) и в этих критических точках:

$y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^3 + 10(-2)^2 + 1 = 16 - 8(-8) + 10(4) + 1 = 16 + 64 + 40 + 1 = 121$

$y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1$

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(3) = 3^4 - 8(3)^3 + 10(3)^2 + 1 = 81 - 8(27) + 10(9) + 1 = 81 - 216 + 90 + 1 = -44$

Среди полученных значений $\{121, 1, 4, -44\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -44, наибольшее значение функции 121.

г) Отрезок $[1; 7]$.

В этот отрезок попадают критические точки $x=1$ и $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=1$, $x=7$) и в критической точке $x=5$:

$y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$

$y(5) = 5^4 - 8(5)^3 + 10(5)^2 + 1 = 625 - 1000 + 250 + 1 = -124$

$y(7) = 7^4 - 8(7)^3 + 10(7)^2 + 1 = 2401 - 8(343) + 10(49) + 1 = 2401 - 2744 + 490 + 1 = 148$

Среди полученных значений $\{4, -124, 148\}$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции -124, наибольшее значение функции 148.