Номер 46.16, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

46.16. а) $y = (2x - 1)^2(x - 2)$, $[-1; 2]$

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 2x - 1}$, $[0; 2]$

в) $y = (x + 4)(3x + 1)^2$, $[-2; -\frac{1}{2}]$

г) $y = \frac{5x^3}{x^2 - 9}$, $[-1; 1]$

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = (2x - 1)^2(x - 2)$ на промежутке $[-1; 2]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
$y' = ((2x - 1)^2)'(x - 2) + (2x - 1)^2(x - 2)'$
$y' = 2(2x - 1) \cdot 2 \cdot (x - 2) + (2x - 1)^2 \cdot 1$
$y' = 4(2x - 1)(x - 2) + (2x - 1)^2$
Вынесем общий множитель $(2x - 1)$:
$y' = (2x - 1)(4(x - 2) + (2x - 1)) = (2x - 1)(4x - 8 + 2x - 1) = (2x - 1)(6x - 9) = 3(2x - 1)(2x - 3)$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$3(2x - 1)(2x - 3) = 0$
$2x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
$2x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$

3. Обе критические точки, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3}{2}$, принадлежат заданному промежутку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка.
$y(-1) = (2(-1) - 1)^2(-1 - 2) = (-3)^2(-3) = 9 \cdot (-3) = -27$
$y(\frac{1}{2}) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^2(\frac{1}{2} - 2) = (1 - 1)^2(-\frac{3}{2}) = 0$
$y(\frac{3}{2}) = (2 \cdot \frac{3}{2} - 1)^2(\frac{3}{2} - 2) = (3 - 1)^2(-\frac{1}{2}) = 2^2(-\frac{1}{2}) = -2$
$y(2) = (2 \cdot 2 - 1)^2(2 - 2) = 3^2 \cdot 0 = 0$

5. Сравниваем полученные значения: $\{-27, 0, -2, 0\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = -27$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 0$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -27$, наибольшее значение функции $y_{max} = 0$.

б) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{x^2}{x^2 - 2x - 1}$ на промежутке $[0; 2]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$y' = \frac{(x^2)'(x^2 - 2x - 1) - x^2(x^2 - 2x - 1)'}{(x^2 - 2x - 1)^2}$
$y' = \frac{2x(x^2 - 2x - 1) - x^2(2x - 2)}{(x^2 - 2x - 1)^2}$
$y' = \frac{2x^3 - 4x^2 - 2x - 2x^3 + 2x^2}{(x^2 - 2x - 1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x}{(x^2 - 2x - 1)^2} = \frac{-2x(x + 1)}{(x^2 - 2x - 1)^2}$

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$-2x(x + 1) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Точки, в которых производная не существует, соответствуют нулям знаменателя: $x^2 - 2x - 1 = 0$, $x = 1 \pm \sqrt{2}$.

3. Из всех найденных точек только $x = 0$ принадлежит промежутку $[0; 2]$. Точка $x=-1$ не принадлежит. Точки $1 \pm \sqrt{2}$ также не принадлежат отрезку $[0; 2]$ ($1-\sqrt{2} < 0$, $1+\sqrt{2} > 2$).

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на другом конце промежутка $x=2$.
$y(0) = \frac{0^2}{0^2 - 2 \cdot 0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$
$y(2) = \frac{2^2}{2^2 - 2 \cdot 2 - 1} = \frac{4}{4 - 4 - 1} = -4$

5. Сравниваем полученные значения: $\{0, -4\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = -4$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 0$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -4$, наибольшее значение функции $y_{max} = 0$.

в) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = (x + 4)(3x + 1)^2$ на промежутке $[-2; -\frac{1}{2}]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной произведения.
$y' = (x + 4)'(3x + 1)^2 + (x + 4)((3x + 1)^2)'$
$y' = 1 \cdot (3x + 1)^2 + (x + 4) \cdot 2(3x + 1) \cdot 3$
$y' = (3x + 1)^2 + 6(x + 4)(3x + 1)$
Вынесем общий множитель $(3x + 1)$:
$y' = (3x + 1)((3x + 1) + 6(x + 4)) = (3x + 1)(3x + 1 + 6x + 24) = (3x + 1)(9x + 25)$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$(3x + 1)(9x + 25) = 0$
$3x + 1 = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{3}$
$9x + 25 = 0 \implies x_2 = -\frac{25}{9}$

3. Проверяем принадлежность критических точек промежутку $[-2; -0.5]$.
$x_1 = -\frac{1}{3} \approx -0.33$, что не входит в промежуток $[-2; -0.5]$.
$x_2 = -\frac{25}{9} \approx -2.78$, что не входит в промежуток $[-2; -0.5]$.
Так как на интервале $(-2; -0.5)$ критических точек нет, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка.

4. Вычисляем значения функции на концах промежутка.
$y(-2) = (-2 + 4)(3(-2) + 1)^2 = 2(-6 + 1)^2 = 2(-5)^2 = 2 \cdot 25 = 50$
$y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2} + 4)(3(-\frac{1}{2}) + 1)^2 = (\frac{7}{2})(-\frac{3}{2} + 1)^2 = \frac{7}{2}(-\frac{1}{2})^2 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{8}$

5. Сравниваем полученные значения: $\{50, \frac{7}{8}\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = \frac{7}{8}$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 50$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = \frac{7}{8}$, наибольшее значение функции $y_{max} = 50$.

г) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{5x^3}{x^2 - 9}$ на промежутке $[-1; 1]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило производной частного.
$y' = \frac{(5x^3)'(x^2 - 9) - 5x^3(x^2 - 9)'}{(x^2 - 9)^2}$
$y' = \frac{15x^2(x^2 - 9) - 5x^3(2x)}{(x^2 - 9)^2}$
$y' = \frac{15x^4 - 135x^2 - 10x^4}{(x^2 - 9)^2} = \frac{5x^4 - 135x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{5x^2(x^2 - 27)}{(x^2 - 9)^2}$

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$5x^2(x^2 - 27) = 0$
$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
$x^2 = 27 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$

3. Проверяем принадлежность критических точек промежутку $[-1; 1]$.
Только $x = 0$ принадлежит этому промежутку. Точки $x = \pm 3\sqrt{3}$ не принадлежат, так как $|\pm 3\sqrt{3}| > 1$.
Функция определена на всем промежутке $[-1; 1]$, так как точки разрыва $x = \pm 3$ в него не входят.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах промежутка.
$y(-1) = \frac{5(-1)^3}{(-1)^2 - 9} = \frac{-5}{1 - 9} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$
$y(0) = \frac{5 \cdot 0^3}{0^2 - 9} = 0$
$y(1) = \frac{5 \cdot 1^3}{1^2 - 9} = \frac{5}{1 - 9} = \frac{5}{-8} = -\frac{5}{8}$

5. Сравниваем полученные значения: $\{\frac{5}{8}, 0, -\frac{5}{8}\}$.
Наименьшее значение: $y_{min} = -\frac{5}{8}$.
Наибольшее значение: $y_{max} = \frac{5}{8}$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -\frac{5}{8}$, наибольшее значение функции $y_{max} = \frac{5}{8}$.