Номер 46.18, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.18. a) $y = x^2 - 5|x| + 6$, [0; 4];

б) $y = x^2 - 5|x| + 6$, [-5; 0];

в) $y = x^2 + 8|x| + 7$, [1; 5];

г) $y = x^2 + 8|x| + 7$, [-8; -2].

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 - 5|x| + 6$ на отрезке $[0; 4]$, сначала раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 5x + 6$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$.
Так как $2.5 \in [0; 4]$, то наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке: $y_{min} = y(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
Наибольшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=4$: $y(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$.
$y(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2$.
Сравнивая полученные значения, находим наибольшее: $y_{max} = 6$.
Ответ: $y_{min} = -0.25$, $y_{max} = 6$.

б) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 - 5|x| + 6$ на отрезке $[-5; 0]$, раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x \le 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 5(-x) + 6 = x^2 + 5x + 6$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$.
Так как $-2.5 \in [-5; 0]$, то наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке: $y_{min} = y(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-5$ и $x=0$: $y(-5) = (-5)^2 + 5(-5) + 6 = 25 - 25 + 6 = 6$.
$y(0) = 0^2 + 5(0) + 6 = 6$.
Наибольшее значение равно $6$.
Ответ: $y_{min} = -0.25$, $y_{max} = 6$.

в) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[1; 5]$, раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 8x + 7$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.
Вершина параболы $x_v = -4$ не принадлежит отрезку $[1; 5]$. Так как ветви параболы направлены вверх, на отрезке $[1; 5]$, расположенном правее вершины, функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
$y_{min} = y(1) = 1^2 + 8(1) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16$.
$y_{max} = y(5) = 5^2 + 8(5) + 7 = 25 + 40 + 7 = 72$.
Ответ: $y_{min} = 16$, $y_{max} = 72$.

г) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[-8; -2]$, раскроем модуль. Поскольку на данном отрезке $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 8(-x) + 7 = x^2 - 8x + 7$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
Вершина параболы $x_v = 4$ не принадлежит отрезку $[-8; -2]$. Так как ветви параболы направлены вверх, на отрезке $[-8; -2]$, расположенном левее вершины, функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
$y_{max} = y(-8) = (-8)^2 - 8(-8) + 7 = 64 + 64 + 7 = 135$.
$y_{min} = y(-2) = (-2)^2 - 8(-2) + 7 = 4 + 16 + 7 = 27$.
Ответ: $y_{min} = 27$, $y_{max} = 135$.