Страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

46.58. У пятиугольника $ABCDE$ углы $A$, $B$ и $E$ — прямые, $AB = a$, $BC = b$, $AE = c$, $DE = m$. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади, если:

а) $a = 7$, $b = 9$, $c = 3$, $m = 5$;

б) $a = 7$, $b = 18$, $c = 3$, $m = 1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину A пятиугольника в начало координат (0, 0). Так как угол A прямой, направим сторону AB вдоль оси Ox, а сторону AE — вдоль оси Oy. Учитывая, что углы B и E также прямые, и заданные длины сторон, координаты вершин пятиугольника ABCDE будут следующими:

• A = (0, 0)
• B = (a, 0)
• C = (a, b)
• D = (m, c)
• E = (0, c)

Пятиугольник ограничен осями координат и ломаной линией, соединяющей точки E, D и C. Верхняя граница пятиугольника описывается функцией $y = f(x)$:

• отрезок DE: $y = c$ при $x \in [0, m]$
• отрезок CD: прямая, проходящая через D(m, c) и C(a, b). Ее уравнение: $y = \frac{b-c}{a-m}(x-m) + c$ при $x \in (m, a]$

Мы ищем прямоугольник с максимальной площадью, вписанный в этот пятиугольник. Будем рассматривать прямоугольники, стороны которых параллельны осям координат. Можно показать, что для данной формы пятиугольника (когда верхняя граница $f(x)$ является неубывающей функцией) максимальный по площади прямоугольник будет иметь одну из сторон на оси Ox.

Пусть такой прямоугольник задается вершинами $(x_1, 0), (x_2, 0), (x_2, h), (x_1, h)$. Его площадь $S = (x_2 - x_1)h$. Для того чтобы прямоугольник был вписан, его верхняя сторона $y=h$ должна находиться внутри пятиугольника. Это означает, что для любого $x \in [x_1, x_2]$ должно выполняться условие $h \le f(x)$.

Поскольку в обоих случаях задачи функция $f(x)$ является неубывающей, минимальное значение $f(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$ достигается в точке $x_1$. Таким образом, constraint $h \le f(x_1)$. Для максимизации площади при фиксированных $x_1$ и $x_2$, мы должны выбрать максимально возможную высоту $h = f(x_1)$.

Также, для максимизации площади при фиксированном $x_1$, следует выбрать максимально возможное значение $x_2$, то есть $x_2=a$.

Итак, задача сводится к нахождению максимума функции площади $S(x_1) = (a - x_1)f(x_1)$ на отрезке $x_1 \in [0, a]$.

а) a = 7, b = 9, c = 3, m = 5;

При данных значениях функция верхней границы $f(x)$ имеет вид:

• $f(x) = 3$ при $x \in [0, 5]$
• $f(x) = \frac{9-3}{7-5}(x-5) + 3 = 3(x-5) + 3 = 3x - 12$ при $x \in (5, 7]$

Разобьем задачу на два случая в зависимости от значения $x_1$.

Случай 1: $x_1 \in [0, 5]$

В этом случае $f(x_1) = 3$. Функция площади: $S(x_1) = (7 - x_1) \cdot 3$.Это линейная убывающая функция. Своего максимума на отрезке $[0, 5]$ она достигает при наименьшем возможном значении $x_1$, то есть при $x_1 = 0$.$S_{max,1} = S(0) = (7 - 0) \cdot 3 = 21$.Этот максимум соответствует прямоугольнику со сторонами на отрезках $[0, 7]$ по оси Ox и $[0, 3]$ по оси Oy. Проверим, что он вписан: высота $h=3$. Для всех $x \in [0, 7]$ должно быть $3 \le f(x)$.При $x \in [0, 5]$, $f(x)=3$, $3 \le 3$ (верно).При $x \in (5, 7]$, $f(x)=3x-12$. $3 \le 3x-12 \implies 15 \le 3x \implies 5 \le x$, что верно для данного интервала.Таким образом, прямоугольник с площадью 21 является вписанным.

Случай 2: $x_1 \in (5, 7]$

В этом случае $f(x_1) = 3x_1 - 12$. Функция площади:$S(x_1) = (7 - x_1)(3x_1 - 12) = -3x_1^2 + 21x_1 + 12x_1 - 84 = -3x_1^2 + 33x_1 - 84$.Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине:$x_v = -\frac{33}{2(-3)} = \frac{33}{6} = 5.5$.Это значение $x_1=5.5$ попадает в рассматриваемый интервал $(5, 7]$.Максимальная площадь в этом случае:$S_{max,2} = S(5.5) = (7 - 5.5)(3 \cdot 5.5 - 12) = 1.5 \cdot (16.5 - 12) = 1.5 \cdot 4.5 = 6.75$.

Сравнивая максимальные площади из двух случаев ($21$ и $6.75$), выбираем наибольшую.

Ответ: $21$.

б) a = 7, b = 18, c = 3, m = 1.

При данных значениях функция верхней границы $f(x)$ имеет вид:

• $f(x) = 3$ при $x \in [0, 1]$
• $f(x) = \frac{18-3}{7-1}(x-1) + 3 = \frac{15}{6}(x-1) + 3 = 2.5(x-1) + 3 = 2.5x + 0.5$ при $x \in (1, 7]$

Разобьем задачу на два случая в зависимости от значения $x_1$.

Случай 1: $x_1 \in [0, 1]$

В этом случае $f(x_1) = 3$. Функция площади: $S(x_1) = (7 - x_1) \cdot 3$.Это линейная убывающая функция, ее максимум на отрезке $[0, 1]$ достигается при $x_1 = 0$.$S_{max,1} = S(0) = (7 - 0) \cdot 3 = 21$.Прямоугольник $[0,7] \times [0,3]$ вписан, так как $h=3 \le f(x)$ для всех $x \in [0,7]$:При $x \in [0, 1]$, $f(x)=3$, $3 \le 3$ (верно).При $x \in (1, 7]$, $f(x)=2.5x+0.5$. $3 \le 2.5x+0.5 \implies 2.5 \le 2.5x \implies 1 \le x$, что верно для данного интервала.

Случай 2: $x_1 \in (1, 7]$

В этом случае $f(x_1) = 2.5x_1 + 0.5$. Функция площади:$S(x_1) = (7 - x_1)(2.5x_1 + 0.5) = -2.5x_1^2 + (7 \cdot 2.5 - 1 \cdot 0.5)x_1 + 3.5 = -2.5x_1^2 + 17x_1 + 3.5$.Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине:$x_v = -\frac{17}{2(-2.5)} = \frac{17}{5} = 3.4$.Это значение $x_1=3.4$ попадает в рассматриваемый интервал $(1, 7]$.Максимальная площадь в этом случае:$S_{max,2} = S(3.4) = (7 - 3.4)(2.5 \cdot 3.4 + 0.5) = 3.6 \cdot (8.5 + 0.5) = 3.6 \cdot 9 = 32.4$.

Сравнивая максимальные площади из двух случаев ($21$ и $32.4$), выбираем наибольшую.

Ответ: $32.4$.

46.59. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $a$ м, а верхняя точка постамента — на $b$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Обозначим искомое расстояние от человека до памятника как $x$. Пусть уровень глаз человека будет служить горизонтальной осью отсчета, а вертикальная ось проходит через основание памятника. Введем следующие обозначения: $A$ — верхняя точка памятника (статуи) на высоте $a$ над уровнем глаз; $B$ — верхняя точка постамента (основание статуи) на высоте $b$ над уровнем глаз; $O$ — точка, где находятся глаза человека; $P$ — основание памятника на уровне глаз человека, так что $OP = x$.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle OPA$ и $\triangle OPB$. Угол, под которым человек видит статую, — это угол $\gamma = \angle AOB$. Этот угол можно представить как разность двух углов: $\gamma = \angle AOP - \angle BOP$. Обозначим $\alpha = \angle AOP$ и $\beta = \angle BOP$. Тогда $\gamma = \alpha - \beta$.

Из прямоугольных треугольников находим тангенсы этих углов:
$\tan \alpha = \frac{PA}{OP} = \frac{a}{x}$
$\tan \beta = \frac{PB}{OP} = \frac{b}{x}$

Теперь выразим тангенс угла $\gamma$ через тангенсы углов $\alpha$ и $\beta$, используя формулу тангенса разности:$$ \tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $$Подставим найденные выражения:$$ \tan \gamma = \frac{\frac{a}{x} - \frac{b}{x}}{1 + \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{x}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{1 + \frac{ab}{x^2}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{\frac{x^2+ab}{x^2}} = \frac{(a-b)x}{x^2+ab} $$

Нам необходимо найти такое значение $x > 0$, при котором угол $\gamma$ будет наибольшим. Поскольку для острых углов (каким и является угол зрения, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$) функция тангенса является монотонно возрастающей, максимизация угла $\gamma$ эквивалентна максимизации его тангенса.

Рассмотрим функцию $f(x) = \tan \gamma = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$. Для нахождения ее максимума найдем производную $f'(x)$ и приравняем ее к нулю. Используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, получаем:$$ f'(x) = \frac{(a-b)(x^2+ab) - (a-b)x(2x)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(x^2+ab - 2x^2)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(ab - x^2)}{(x^2+ab)^2} $$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $f'(x) = 0$. Поскольку из условия задачи $a > b$, то $a-b > 0$, а знаменатель $(x^2+ab)^2$ всегда положителен для $x>0$. Следовательно, равенство нулю возможно только если числитель равен нулю:$$ ab - x^2 = 0 $$$$ x^2 = ab $$$$ x = \sqrt{ab} $$(так как расстояние $x$ должно быть положительным).

Проверим, является ли найденная точка точкой максимума. Для этого исследуем знак производной $f'(x)$, который определяется знаком выражения $(ab - x^2)$.
При $0 < x < \sqrt{ab}$, имеем $x^2 < ab$, поэтому $ab - x^2 > 0$ и $f'(x) > 0$ (функция $f(x)$ возрастает).
При $x > \sqrt{ab}$, имеем $x^2 > ab$, поэтому $ab - x^2 < 0$ и $f'(x) < 0$ (функция $f(x)$ убывает).
Поскольку при переходе через точку $x = \sqrt{ab}$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Таким образом, угол, под которым видна статуя, будет наибольшим, когда человек стоит на расстоянии $\sqrt{ab}$ от памятника.

Ответ: Человек должен стать на расстоянии $\sqrt{ab}$ м от памятника.

46.60. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идёт со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Для решения задачи введем систему координат. Пусть дорога совпадает с осью Ox, а точка на дороге, ближайшая к базе, будет началом координат O(0, 0). Тогда база Б находится в точке с координатами Б(0, 5), так как расстояние от базы до дороги составляет 5 км.

Из условия известно, что расстояние от базы Б до станции С равно 13 км. Станция С также находится на дороге (оси Ox). Мы можем найти её координату, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный точками О, Б и С. В этом треугольнике катет ОБ равен 5 км, а гипотенуза БС равна 13 км. По теореме Пифагора найдем второй катет ОС:

$ ОС = \sqrt{БС^2 - ОБ^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 $ км.

Таким образом, станция находится в точке С(12, 0).

Пешеход должен пройти часть пути по лесу, а часть — по дороге, чтобы минимизировать общее время в пути. Пусть пешеход выходит из леса на дорогу в некоторой точке М с координатой (x, 0). Маршрут пешехода состоит из двух отрезков: БМ (по лесу) и МС (по дороге). Очевидно, что для минимизации времени точка М должна лежать между точками О(0, 0) и С(12, 0), то есть $ 0 \le x \le 12 $.

Найдем длины этих отрезков:

• Длина пути по лесу БМ, по формуле расстояния между двумя точками Б(0, 5) и М(x, 0):
  $ S_1 = \text{БМ} = \sqrt{(x-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{x^2 + 25} $ км.
• Длина пути по дороге МС, как расстояние между точками М(x, 0) и С(12, 0):
  $ S_2 = \text{МС} = 12 - x $ км.

Скорости пешехода известны: по лесу $ v_1 = 3 $ км/ч, по дороге $ v_2 = 5 $ км/ч. Общее время в пути $ T $ является суммой времени, затраченного на каждый участок:

$ T = t_1 + t_2 = \frac{S_1}{v_1} + \frac{S_2}{v_2} $

Подставим выражения для расстояний и скоростей, получив функцию времени от переменной $x$:

$ T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5} $

Чтобы найти минимальное время, нужно найти минимум этой функции. Для этого найдем её производную по $x$ и приравняем к нулю:

$ T'(x) = \left( \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5} \right)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 25}} \cdot (2x) - \frac{1}{5} = \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} $

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$ \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} = 0 $

$ \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{1}{5} $

$ 5x = 3\sqrt{x^2 + 25} $

Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $ x \ge 0 $):

$ 25x^2 = 9(x^2 + 25) $

$ 25x^2 = 9x^2 + 225 $

$ 16x^2 = 225 $

$ x^2 = \frac{225}{16} $

$ x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3,75 $ км.

Это значение $x$ находится в допустимом интервале [0, 12]. Проверка с помощью второй производной $ T''(x) = \frac{25}{3(x^2+25)^{3/2}} $ показывает, что она всегда положительна, следовательно, найденная точка является точкой минимума.

Теперь подставим найденное значение $ x = 3,75 $ км в функцию времени $ T(x) $ для вычисления минимального времени:

$ T_{min} = T(3,75) = \frac{\sqrt{(3,75)^2 + 25}}{3} + \frac{12 - 3,75}{5} $

Вычислим части по отдельности:

• $ \sqrt{(3,75)^2 + 25} = \sqrt{(\frac{15}{4})^2 + 25} = \sqrt{\frac{225}{16} + \frac{400}{16}} = \sqrt{\frac{625}{16}} = \frac{25}{4} = 6,25 $ км.
• Время по лесу: $ t_1 = \frac{6,25}{3} = \frac{25/4}{3} = \frac{25}{12} $ ч.
• $ 12 - 3,75 = 8,25 $ км.
• Время по дороге: $ t_2 = \frac{8,25}{5} = \frac{33/4}{5} = \frac{33}{20} $ ч.

Суммарное время:

$ T_{min} = \frac{25}{12} + \frac{33}{20} = \frac{25 \cdot 5}{60} + \frac{33 \cdot 3}{60} = \frac{125 + 99}{60} = \frac{224}{60} = \frac{56}{15} $ часа.

Переведем это значение в часы и минуты:

$ \frac{56}{15} \text{ ч} = 3 \frac{11}{15} \text{ ч} = 3 \text{ часа} + \frac{11}{15} \cdot 60 \text{ минут} = 3 \text{ часа} + 11 \cdot 4 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 44 \text{ минуты}. $

Ответ: Минимальное время, за которое пешеход может добраться от базы до станции, составляет $3 \frac{11}{15}$ часа, или 3 часа 44 минуты.

46.61. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?

Пусть $a$ — сторона квадратного основания бака в дециметрах (дм), а $h$ — его высота в дециметрах. Объем бака составляет 32 л. Поскольку 1 л = 1 дм³, объем бака равен $V = 32 \text{ дм}^3$.

Объем бака (прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле $V = a^2h$. Подставляя заданное значение, получаем уравнение связи между размерами бака: $a^2h = 32$.

Количество материала для изготовления открытого бака определяется площадью его поверхности $S$. Поверхность состоит из квадратного основания и четырех одинаковых прямоугольных боковых стенок. Площадь основания: $S_{осн} = a^2$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4ah$. Общая площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 4ah$.

Чтобы найти размеры, минимизирующие расход материала, необходимо минимизировать функцию площади $S$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Выразим высоту $h$ через сторону основания $a$: $h = \frac{32}{a^2}$.

Теперь подставим это выражение в формулу для площади $S$, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$: $S(a) = a^2 + 4a \left(\frac{32}{a^2}\right) = a^2 + \frac{128}{a}$.

Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю: $S'(a) = \frac{d}{da} \left(a^2 + \frac{128}{a}\right) = 2a - \frac{128}{a^2}$. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $S'(a) = 0 \implies 2a - \frac{128}{a^2} = 0$. $2a = \frac{128}{a^2} \implies 2a^3 = 128 \implies a^3 = 64$. Решая уравнение, получаем $a = \sqrt[3]{64} = 4$ дм.

Чтобы убедиться, что найденное значение $a=4$ соответствует минимуму, а не максимуму, используем вторую производную: $S''(a) = \frac{d}{da} \left(2a - \frac{128}{a^2}\right) = 2 + \frac{256}{a^3}$. Поскольку длина стороны $a$ должна быть положительной ($a > 0$), вторая производная $S''(a)$ всегда будет положительной. Следовательно, при $a=4$ дм функция площади $S(a)$ имеет минимум.

Найдем соответствующую высоту бака $h$ при $a=4$ дм: $h = \frac{32}{a^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$ дм. Таким образом, наименьшее количество материала потребуется для изготовления бака со стороной основания 4 дм и высотой 2 дм.
Ответ: сторона основания 4 дм, высота 2 дм.

46.62. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 343 $м^3$. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Для решения задачи необходимо найти размеры закрытого металлического бака с квадратным дном, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме. Минимальная площадь поверхности соответствует наименьшему количеству материала, необходимого для изготовления бака.

1. Обозначим переменные и составим уравнения.
Пусть $a$ — длина стороны квадратного дна бака (в метрах), а $h$ — высота бака (в метрах). Так как дно квадратное, его площадь равна $a^2$.

Объем бака $V$ вычисляется по формуле:
$V = \text{Площадь основания} \times \text{Высота} = a^2 h$.
По условию, объем бака равен 343 м?, следовательно:
$a^2 h = 343$.

Количество материала определяется общей площадью поверхности бака $S$. Бак закрытый, поэтому его поверхность состоит из дна, крышки и четырех боковых стенок.
Площадь дна: $a^2$.
Площадь крышки: $a^2$.
Площадь одной боковой стенки: $a \cdot h$.
Площадь четырех боковых стенок: $4ah$.
Общая площадь поверхности $S$:
$S = a^2 + a^2 + 4ah = 2a^2 + 4ah$.

2. Выразим площадь поверхности как функцию одной переменной.
Наша задача — минимизировать функцию $S(a, h)$. Чтобы найти минимум, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Из $a^2 h = 343$ выразим $h$:
$h = \frac{343}{a^2}$.
Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности $S$:
$S(a) = 2a^2 + 4a \left( \frac{343}{a^2} \right) = 2a^2 + \frac{1372}{a}$.
Мы получили функцию площади поверхности, зависящую только от длины стороны основания $a$, где $a > 0$.

3. Найдем минимум функции.
Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю.
$S'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a^2 + \frac{1372}{a} \right) = \frac{d}{da} (2a^2 + 1372a^{-1})$.
$S'(a) = 4a - 1372a^{-2} = 4a - \frac{1372}{a^2}$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$4a - \frac{1372}{a^2} = 0$.
$4a = \frac{1372}{a^2}$.
$4a^3 = 1372$.
$a^3 = \frac{1372}{4}$.
$a^3 = 343$.
$a = \sqrt[3]{343} = 7$.

4. Проверим, что найденная точка является точкой минимума.
Для этого найдем вторую производную $S''(a)$:
$S''(a) = \frac{d}{da} \left( 4a - 1372a^{-2} \right) = 4 - 1372(-2)a^{-3} = 4 + \frac{2744}{a^3}$.
При $a=7$, значение второй производной:
$S''(7) = 4 + \frac{2744}{7^3} = 4 + \frac{2744}{343} = 4 + 8 = 12$.
Так как $S''(7) = 12 > 0$, то при $a=7$ функция $S(a)$ имеет минимум.

5. Найдем высоту бака.
Теперь, когда мы знаем оптимальное значение $a$, найдем соответствующую высоту $h$:
$h = \frac{343}{a^2} = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7$.

Таким образом, для минимизации количества материала бак должен иметь форму куба со стороной 7 метров.

Ответ: Наименьшее количество материала пойдёт на изготовление бака, если он будет иметь форму куба с размерами 7 м ? 7 м ? 7 м.

46.63. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2:3, а объём составлял $576 \text{ м}^3$. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота равна $c$.Согласно условию задачи, стороны основания относятся как $2:3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда:$a = 2x$$b = 3x$

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. По условию, объём равен $576 \text{ м}^3$. Подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу объема:$V = (2x)(3x)c = 6x^2c$$576 = 6x^2c$Отсюда выразим высоту $c$ через $x$:$c = \frac{576}{6x^2} = \frac{96}{x^2}$

Задача состоит в том, чтобы найти размеры, при которых полная поверхность короба будет наименьшей. Формула полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:$S = 2(ab + ac + bc)$Подставим в эту формулу выражения для $a$, $b$ и $c$ через $x$, чтобы получить функцию площади поверхности $S(x)$:$S(x) = 2((2x)(3x) + (2x)(\frac{96}{x^2}) + (3x)(\frac{96}{x^2}))$$S(x) = 2(6x^2 + \frac{192}{x} + \frac{288}{x})$$S(x) = 2(6x^2 + \frac{480}{x})$$S(x) = 12x^2 + \frac{960}{x}$

Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, необходимо найти её производную по $x$ и приравнять к нулю.$S'(x) = (12x^2 + 960x^{-1})' = 24x - 960x^{-2} = 24x - \frac{960}{x^2}$Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$S'(x) = 0$$24x - \frac{960}{x^2} = 0$$24x = \frac{960}{x^2}$$24x^3 = 960$$x^3 = \frac{960}{24}$$x^3 = 40$$x = \sqrt[3]{40}$Так как $x$ является коэффициентом для линейного размера, нас интересует только положительное значение.

Чтобы убедиться, что найденное значение $x$ соответствует точке минимума, найдём вторую производную:$S''(x) = (24x - 960x^{-2})' = 24 - (-2) \cdot 960x^{-3} = 24 + \frac{1920}{x^3}$Поскольку $x > 0$, то $x^3 > 0$, и, следовательно, $S''(x) > 0$. Это означает, что в точке $x = \sqrt[3]{40}$ функция $S(x)$ имеет минимум.

Теперь найдём размеры сторон параллелепипеда, подставив найденное значение $x = \sqrt[3]{40}$:$a = 2x = 2\sqrt[3]{40} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5} \text{ м}$$b = 3x = 3\sqrt[3]{40} = 3\sqrt[3]{8 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5} \text{ м}$$c = \frac{96}{x^2} = \frac{96}{(\sqrt[3]{40})^2} = \frac{96}{\sqrt[3]{1600}} = \frac{96}{\sqrt[3]{64 \cdot 25}} = \frac{96}{4\sqrt[3]{25}} = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} \text{ м}$Можно избавиться от иррациональности в знаменателе для высоты $c$:$c = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5} = 4,8\sqrt[3]{5} \text{ м}$

Ответ: стороны основания должны быть $4\sqrt[3]{5}$ м и $6\sqrt[3]{5}$ м, а высота должна быть $4,8\sqrt[3]{5}$ м.

46.64. Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы равна $d$. При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Пусть a — сторона основания правильной четырехугольной призмы, а h — ее высота (длина бокового ребра).

Объем призмы V вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$

Боковая грань призмы является прямоугольником со сторонами a и h. Диагональ этого прямоугольника по условию равна d. Согласно теореме Пифагора для этого прямоугольника, мы имеем: $a^2 + h^2 = d^2$

Наша задача — найти значение h, при котором объем V будет максимальным. Для этого выразим объем как функцию одной переменной, например h. Из уравнения для диагонали выразим $a^2$: $a^2 = d^2 - h^2$

Заметим, что поскольку a и h — это длины, они должны быть положительными. Из $a^2 = d^2 - h^2 > 0$ следует, что $h^2 < d^2$, то есть $0 < h < d$.

Подставим выражение для $a^2$ в формулу объема: $V(h) = (d^2 - h^2)h = d^2h - h^3$

Чтобы найти максимум этой функции на интервале $(0, d)$, найдем ее производную по h: $V'(h) = \frac{d}{dh}(d^2h - h^3) = d^2 - 3h^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $d^2 - 3h^2 = 0$ $3h^2 = d^2$ $h^2 = \frac{d^2}{3}$

Так как $h>0$, выбираем положительный корень: $h = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$

Это значение $h$ принадлежит интервалу $(0, d)$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$.

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, используем вторую производную: $V''(h) = \frac{d}{dh}(d^2 - 3h^2) = -6h$

Поскольку для любого $h > 0$ вторая производная $V''(h)$ отрицательна, найденная точка $h = \frac{d\sqrt{3}}{3}$ является точкой максимума функции объема.

Следовательно, объем призмы будет наибольшим при длине бокового ребра, равной $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.

46.65. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна $p$. При какой высоте пирамиды её объём будет наибольшим?

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. В ее основании лежит квадрат. Обозначим сторону основания как $a$, высоту пирамиды как $h$. Апофема пирамиды (высота боковой грани) по условию равна $p$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Так как в основании лежит квадрат со стороной $a$, то $S_{осн} = a^2$.

Тогда формула объема примет вид: $V = \frac{1}{3} a^2 h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $p$ и отрезком, соединяющим основание высоты и основание апофемы. Этот отрезок равен половине стороны основания, то есть $\frac{a}{2}$. В этом треугольнике апофема $p$ является гипотенузой, а высота $h$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$ — катетами.

По теореме Пифагора имеем соотношение: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = p^2$.

Выразим $a^2$ из этого уравнения, чтобы подставить в формулу объема:
$\frac{a^2}{4} = p^2 - h^2$
$a^2 = 4(p^2 - h^2)$.

Теперь подставим выражение для $a^2$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от высоты $h$:

$V(h) = \frac{1}{3} \cdot 4(p^2 - h^2) \cdot h = \frac{4}{3}(p^2h - h^3)$.

Чтобы найти, при какой высоте $h$ объем будет наибольшим, нам нужно найти максимум функции $V(h)$. Для этого найдем ее производную по $h$ и приравняем к нулю. Также отметим, что из геометрических соображений высота $h$ должна находиться в интервале $(0, p)$.

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{4}{3}(p^2h - h^3) \right) = \frac{4}{3}(p^2 - 3h^2)$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{4}{3}(p^2 - 3h^2) = 0$
$p^2 - 3h^2 = 0$
$3h^2 = p^2$
$h^2 = \frac{p^2}{3}$

Поскольку высота $h$ должна быть положительной величиной, берем положительный корень:

$h = \sqrt{\frac{p^2}{3}} = \frac{p}{\sqrt{3}} = \frac{p\sqrt{3}}{3}$.

Это значение $h$ принадлежит интервалу $(0, p)$, так как $\sqrt{3} > 1$.

Определим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого найдем вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{4}{3}(p^2 - 3h^2) \right) = \frac{4}{3}(-6h) = -8h$.

Так как $h = \frac{p\sqrt{3}}{3} > 0$, значение второй производной в найденной точке будет отрицательным: $V''\left(\frac{p\sqrt{3}}{3}\right) = -8 \cdot \frac{p\sqrt{3}}{3} < 0$.

Отрицательное значение второй производной означает, что в этой точке функция $V(h)$ достигает своего максимума. Таким образом, объем пирамиды будет наибольшим при высоте $h = \frac{p\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $ \frac{p\sqrt{3}}{3} $

46.66. Периметр осевого сечения цилиндра равен $p$ см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объём был наибольшим?

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Обозначим высоту цилиндра как $h$, а радиус его основания как $r$. Тогда стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$.

Периметр осевого сечения, по условию задачи, равен $p$. Периметр прямоугольника вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:

$p = 2(h + 2r)$

Объем цилиндра $V$ определяется формулой:

$V = \pi r^2 h$

Наша задача — найти такое значение $h$, при котором объем $V$ будет максимальным. Для этого выразим одну из переменных ($h$ или $r$) из формулы периметра и подставим в формулу объема.

Выразим $h$ из формулы периметра:

$\frac{p}{2} = h + 2r$

$h = \frac{p}{2} - 2r$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от переменной $r$:

$V(r) = \pi r^2 \left(\frac{p}{2} - 2r\right) = \frac{\pi p}{2}r^2 - 2\pi r^3$

Чтобы найти максимальное значение объема, необходимо найти точку экстремума функции $V(r)$. Для этого найдем ее производную по $r$ и приравняем ее к нулю:

$V'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{\pi p}{2}r^2 - 2\pi r^3\right) = \frac{\pi p}{2} \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = \pi p r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю:

$\pi p r - 6\pi r^2 = 0$

$\pi r(p - 6r) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $r = 0$ и $r = \frac{p}{6}$. Решение $r=0$ соответствует цилиндру с нулевым объемом, что является минимумом. Следовательно, кандидатом на точку максимума является $r = \frac{p}{6}$.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную функции объема:

$V''(r) = \frac{d}{dr}(\pi p r - 6\pi r^2) = \pi p - 12\pi r$

Подставим значение $r = \frac{p}{6}$ во вторую производную:

$V''\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 12\pi\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 2\pi p = -\pi p$

Поскольку периметр $p$ является положительной величиной ($p>0$), то $V''\left(\frac{p}{6}\right) < 0$. Это подтверждает, что при $r = \frac{p}{6}$ объем цилиндра достигает своего максимального значения.

Теперь найдем высоту $h$, соответствующую этому значению радиуса:

$h = \frac{p}{2} - 2r = \frac{p}{2} - 2\left(\frac{p}{6}\right) = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{3p - 2p}{6} = \frac{p}{6}$

Таким образом, для того чтобы объем цилиндра был наибольшим, его высота должна быть равна $\frac{p}{6}$ см.

Ответ: $h = \frac{p}{6}$ см.

46.67. Объем цилиндра равен $V \text{ м}^3$. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была наименьшей?

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Объем цилиндра $V$ определяется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Задача состоит в том, чтобы найти значение $r$, при котором функция $S$ принимает наименьшее значение при постоянном объеме $V$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу объема. Выразим высоту $h$ через радиус $r$ и объем $V$: $h = \frac{V}{\pi r^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности, чтобы получить функцию $S$ как функцию одной переменной $r$: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{V}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(r)$ необходимо найти ее производную по $r$ и приравнять ее к нулю. $S'(r) = \frac{d}{dr} \left( 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} \right) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть и, учитывая, что $r > 0$, решим уравнение: $4\pi r = \frac{2V}{r^2}$ $4\pi r^3 = 2V$ $r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$

Отсюда находим значение радиуса $r$, при котором площадь поверхности может быть минимальной: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Чтобы убедиться, что в этой точке достигается именно минимум, а не максимум, найдем вторую производную функции $S(r)$: $S''(r) = \frac{d}{dr} \left( 4\pi r - \frac{2V}{r^2} \right) = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$

Поскольку объем $V > 0$ и радиус $r > 0$, значение второй производной $S''(r)$ всегда будет положительным. Это означает, что найденная критическая точка является точкой минимума.

Таким образом, полная поверхность цилиндра будет наименьшей при радиусе, равном $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$.

Ответ: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ м.