Номер 46.65, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.65. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна $p$. При какой высоте пирамиды её объём будет наибольшим?

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. В ее основании лежит квадрат. Обозначим сторону основания как $a$, высоту пирамиды как $h$. Апофема пирамиды (высота боковой грани) по условию равна $p$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Так как в основании лежит квадрат со стороной $a$, то $S_{осн} = a^2$.

Тогда формула объема примет вид: $V = \frac{1}{3} a^2 h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $p$ и отрезком, соединяющим основание высоты и основание апофемы. Этот отрезок равен половине стороны основания, то есть $\frac{a}{2}$. В этом треугольнике апофема $p$ является гипотенузой, а высота $h$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$ — катетами.

По теореме Пифагора имеем соотношение: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = p^2$.

Выразим $a^2$ из этого уравнения, чтобы подставить в формулу объема:
$\frac{a^2}{4} = p^2 - h^2$
$a^2 = 4(p^2 - h^2)$.

Теперь подставим выражение для $a^2$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от высоты $h$:

$V(h) = \frac{1}{3} \cdot 4(p^2 - h^2) \cdot h = \frac{4}{3}(p^2h - h^3)$.

Чтобы найти, при какой высоте $h$ объем будет наибольшим, нам нужно найти максимум функции $V(h)$. Для этого найдем ее производную по $h$ и приравняем к нулю. Также отметим, что из геометрических соображений высота $h$ должна находиться в интервале $(0, p)$.

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{4}{3}(p^2h - h^3) \right) = \frac{4}{3}(p^2 - 3h^2)$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{4}{3}(p^2 - 3h^2) = 0$
$p^2 - 3h^2 = 0$
$3h^2 = p^2$
$h^2 = \frac{p^2}{3}$

Поскольку высота $h$ должна быть положительной величиной, берем положительный корень:

$h = \sqrt{\frac{p^2}{3}} = \frac{p}{\sqrt{3}} = \frac{p\sqrt{3}}{3}$.

Это значение $h$ принадлежит интервалу $(0, p)$, так как $\sqrt{3} > 1$.

Определим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого найдем вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{4}{3}(p^2 - 3h^2) \right) = \frac{4}{3}(-6h) = -8h$.

Так как $h = \frac{p\sqrt{3}}{3} > 0$, значение второй производной в найденной точке будет отрицательным: $V''\left(\frac{p\sqrt{3}}{3}\right) = -8 \cdot \frac{p\sqrt{3}}{3} < 0$.

Отрицательное значение второй производной означает, что в этой точке функция $V(h)$ достигает своего максимума. Таким образом, объем пирамиды будет наибольшим при высоте $h = \frac{p\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $ \frac{p\sqrt{3}}{3} $