Номер 47.1, страница 287, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.1. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы).

а) Сколько всего можно составить чисел?

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

а) Сколько всего можно составить чисел?

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Данный набор цифр: {0, 1, 3, 4, 5, 6, 9}, всего 7 цифр.
На место первой цифры (десятки) можно поставить любую из этих цифр, кроме 0, так как число не может начинаться с нуля. Следовательно, для первой цифры существует 6 вариантов: {1, 3, 4, 5, 6, 9}.
На место второй цифры (единицы) можно поставить любую из 7 данных цифр, так как по условию повторения цифр допустимы.
Общее количество возможных двузначных чисел находится по правилу умножения: количество вариантов для первой цифры умножается на количество вариантов для второй.
$N = 6 \times 7 = 42$
Ответ: 42.

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

Чтобы двузначное число было больше 50, его первая цифра (десятки) должна быть 5 или больше. Рассмотрим возможные случаи:
1. Первая цифра равна 5. Число имеет вид 5Y. Чтобы число было больше 50, вторая цифра Y должна быть больше 0. Из доступного набора {0, 1, 3, 4, 5, 6, 9} подходят цифры {1, 3, 4, 5, 6, 9}. Таким образом, есть 6 вариантов.
2. Первая цифра больше 5. Из доступного набора {1, 3, 4, 5, 6, 9} этому условию удовлетворяют цифры 6 и 9. Это 2 варианта для первой цифры. Вторая цифра может быть любой из 7 доступных. Количество таких чисел равно $2 \times 7 = 14$.
Общее количество чисел, больших 50, равно сумме чисел из обоих случаев:
$N = 6 + 14 = 20$
Ответ: 20.

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

Число является нечётным, если его последняя цифра (цифра единиц) нечётная.
В наборе {0, 1, 3, 4, 5, 6, 9} нечётными являются цифры {1, 3, 5, 9}. Это 4 варианта для второй цифры.
Первая цифра (десятки) может быть любой из 6 доступных цифр, кроме 0: {1, 3, 4, 5, 6, 9}.
Общее количество нечётных двузначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой из цифр:
$N = 6 \times 4 = 24$
Ответ: 24.

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

Требуется найти количество нечётных двузначных чисел, которые меньше 55. Рассмотрим варианты для первой цифры (десятков).
1. Первая цифра меньше 5. Из нашего набора {1, 3, 4, 5, 6, 9} подходят цифры {1, 3, 4}. Это 3 варианта. В этом случае любое составленное число будет меньше 50, а значит, и меньше 55. Вторая цифра должна быть нечётной. В наборе 4 нечётные цифры: {1, 3, 5, 9}. Количество таких чисел: $3 \times 4 = 12$.
2. Первая цифра равна 5. Число имеет вид 5Y. Чтобы число было меньше 55, вторая цифра Y должна быть меньше 5. Так как число должно быть нечётным, Y также должна быть нечётной. Из нечётных цифр {1, 3, 5, 9} условию "меньше 5" удовлетворяют {1, 3}. Это 2 варианта.
3. Первая цифра больше 5 (т.е. 6 или 9). Любое такое число будет больше или равно 60, что не удовлетворяет условию "меньше 55".
Суммируем количество подходящих чисел из всех случаев:
$N = 12 + 2 = 14$
Ответ: 14.