Номер 47.8, страница 288, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

047.8. Ученик помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс — то ли двойка, то ли тройка.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых ученику придётся выбирать ответ.

б) Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не на втором месте?

в) Как изменится дерево вариантов, если ученик помнит, что на первом месте точно стоит H, а порядок остальных букв забыл?

г) Как изменится дерево вариантов, если буквы могут идти в любом порядке?

Ученик помнит, что буквы в формуле идут в порядке H, N, O. Ему нужно сделать два выбора:

1. Выбрать значение нижнего индекса: 2 или 3 (2 варианта).
2. Выбрать положение этого индекса: после H, после N или после O (3 варианта).

Общее количество возможных вариантов равно произведению числа выборов на каждом шаге: $2 \times 3 = 6$.

Дерево возможных вариантов можно представить следующим образом:

• Индекс 2
  • Индекс после H: $H_2NO$
  • Индекс после N: $HN_2O$
  • Индекс после O: $HNO_2$
• Индекс 3
  • Индекс после H: $H_3NO$
  • Индекс после N: $HN_3O$
  • Индекс после O: $HNO_3$ (это верная формула азотной кислоты)

Ответ: Дерево вариантов будет иметь 2 основные ветви (для индекса 2 и 3), каждая из которых разделяется на 3 подварианта в зависимости от положения индекса. Всего существует 6 возможных формул: $H_2NO$, $HN_2O$, $HNO_2$, $H_3NO$, $HN_3O$, $HNO_3$.

Второе место в последовательности букв H, N, O занимает буква N. Нам нужно найти количество вариантов, в которых индекс стоит не после N.

Варианты, в которых индекс стоит на втором месте (после N), это $HN_2O$ и $HN_3O$. Таких вариантов 2.

Всего, как мы выяснили в пункте а), существует 6 вариантов. Значит, количество вариантов, где индекс стоит не на втором месте, равно:

$6 - 2 = 4$

Это варианты, где индекс стоит на первом месте ($H_2NO$, $H_3NO$) или на третьем месте ($HNO_2$, $HNO_3$).

Ответ: 4.

В этом случае ученик помнит, что первая буква — H, но не помнит порядок следующих двух (N и O). Это означает, что есть два возможных порядка букв:

1. H, N, O
2. H, O, N

Для каждого из этих порядков по-прежнему есть 2 варианта индекса (2 или 3) и 3 варианта его положения. Таким образом, общее количество вариантов увеличивается вдвое по сравнению с пунктом а).

Общее количество вариантов: (число порядков букв) $\times$ (число вариантов индекса) $\times$ (число положений индекса) = $2 \times 2 \times 3 = 12$.

Дерево вариантов изменится — в нём появится новый, верхний уровень ветвления, соответствующий выбору порядка букв. Первая часть дерева будет такой же, как в пункте а), а вторая будет выглядеть так:

• Порядок букв H, O, N
  • Индекс 2
    • Индекс после H: $H_2ON$
    • Индекс после O: $HO_2N$
    • Индекс после N: $HON_2$
  • Индекс 3
    • Индекс после H: $H_3ON$
    • Индекс после O: $HO_3N$
    • Индекс после N: $HON_3$

Ответ: Дерево вариантов станет в два раза больше. В нём появится дополнительный уровень ветвления, соответствующий двум возможным порядкам букв (HNO и HON). Общее количество вариантов станет $2 \times 2 \times 3 = 12$.

Если буквы могут идти в любом порядке, то сначала нужно определить количество возможных перестановок букв H, N, O. Число перестановок из 3-х элементов равно $3!$ (3 факториал).

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Возможные порядки букв: HNO, HON, NHO, NOH, OHN, ONH.

Для каждого из этих 6 порядков букв, как и раньше, есть 2 варианта индекса и 3 варианта его положения. Таким образом, общее количество вариантов рассчитывается как:

(число порядков букв) $\times$ (число вариантов индекса) $\times$ (число положений индекса) = $6 \times 2 \times 3 = 36$.

Дерево вариантов сильно разрастётся. По сравнению с первоначальным деревом из пункта а), которое соответствовало всего одному порядку букв (HNO), новое дерево будет в 6 раз больше.

Ответ: Дерево вариантов станет в 6 раз больше, чем в пункте а). Его первый уровень ветвления будет состоять из $3! = 6$ вариантов порядка букв. Общее количество вариантов станет $6 \times 2 \times 3 = 36$.