Номер 47.11, страница 289, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

47.11. a) $\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$

б) $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2}$

в) $\frac{17 \cdot 6! + 8!}{7! + 9!}$

г) $\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}$

а) Вычислим значение выражения $\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$.

Для упрощения вынесем за скобки в числителе и знаменателе факториалы с наименьшим основанием.

В числителе: $7! + 8! = 7! + 8 \cdot 7! = 7! \cdot (1 + 8) = 9 \cdot 7!$.

В знаменателе: $5! + 6! = 5! + 6 \cdot 5! = 5! \cdot (1 + 6) = 7 \cdot 5!$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{9 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} = \frac{9 \cdot (7 \cdot 6 \cdot 5!)}{7 \cdot 5!}$

Сократим общие множители $7$ и $5!$:

$\frac{9 \cdot \cancel{7} \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{7} \cdot \cancel{5!}} = 9 \cdot 6 = 54$.

Ответ: 54.

б) Вычислим значение выражения $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2}$.

В числителе и знаменателе дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель дроби: $(10!)^2 - (9!)^2 = (10! - 9!)(10! + 9!)$.
$10! - 9! = 10 \cdot 9! - 9! = 9!(10 - 1) = 9 \cdot 9!$
$10! + 9! = 10 \cdot 9! + 9! = 9!(10 + 1) = 11 \cdot 9!$
Таким образом, числитель равен $(9 \cdot 9!) \cdot (11 \cdot 9!) = 99 \cdot (9!)^2$.

Знаменатель дроби: $(8!)^2 - (7!)^2 = (8! - 7!)(8! + 7!)$.
$8! - 7! = 8 \cdot 7! - 7! = 7!(8 - 1) = 7 \cdot 7!$
$8! + 7! = 8 \cdot 7! + 7! = 7!(8 + 1) = 9 \cdot 7!$
Таким образом, знаменатель равен $(7 \cdot 7!) \cdot (9 \cdot 7!) = 63 \cdot (7!)^2$.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$\frac{7}{11} \cdot \frac{99 \cdot (9!)^2}{63 \cdot (7!)^2}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{7}{11} \cdot \frac{99}{63} = \frac{7}{11} \cdot \frac{11 \cdot 9}{7 \cdot 9} = 1$.

Теперь выражение сводится к $\frac{(9!)^2}{(7!)^2} = \left(\frac{9!}{7!}\right)^2$.

Вычислим значение в скобках: $\frac{9!}{7!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72$.

Возведем результат в квадрат: $72^2 = 5184$.

Ответ: 5184.

в) Вычислим значение выражения $\frac{17 \cdot 6! + 8!}{7! + 9!}$.

Вынесем за скобки общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе: $17 \cdot 6! + 8! = 17 \cdot 6! + 8 \cdot 7 \cdot 6! = 6!(17 + 8 \cdot 7) = 6!(17 + 56) = 73 \cdot 6!$.

В знаменателе: $7! + 9! = 7! + 9 \cdot 8 \cdot 7! = 7!(1 + 9 \cdot 8) = 7!(1 + 72) = 73 \cdot 7!$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{73 \cdot 6!}{73 \cdot 7!}$

Сократим общий множитель $73$:

$\frac{6!}{7!} = \frac{6!}{7 \cdot 6!} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Вычислим значение выражения $\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}$.

Перегруппируем множители для удобства сокращения:

$\frac{(7!)^2}{4! \cdot 8!} \cdot \frac{(6!)^2}{5! \cdot 9!} = \left(\frac{7! \cdot 7!}{4! \cdot 8!}\right) \cdot \left(\frac{6! \cdot 6!}{5! \cdot 9!}\right)$

Упростим каждую из двух дробей по отдельности.

Первая дробь: $\frac{7! \cdot 7!}{4! \cdot 8!} = \frac{7! \cdot 7!}{4! \cdot 8 \cdot 7!} = \frac{7!}{4! \cdot 8} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 8} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{8} = \frac{210}{8} = \frac{105}{4}$.

Вторая дробь: $\frac{6! \cdot 6!}{5! \cdot 9!} = \frac{6! \cdot 6!}{5! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!} = \frac{6!}{5! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{6}{504} = \frac{1}{84}$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{105}{4} \cdot \frac{1}{84} = \frac{105}{4 \cdot 84} = \frac{105}{336}$.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для $105$ ($3 \cdot 5 \cdot 7$) и $336$ ($16 \cdot 21 = 16 \cdot 3 \cdot 7$) равен $3 \cdot 7 = 21$.

$\frac{105 \div 21}{336 \div 21} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.