Номер 47.14, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.14. Укажите наибольшее натуральное число n, для которого:

a) $10!$ кратно $2^n$;

б) $16!$ кратно $2^n$;

в) $26!$ кратно $5^n$;

г) $28!$ кратно $3^n$.

Для того чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, для которого $k!$ кратно $p^n$ (где $p$ — простое число), необходимо определить показатель степени, с которой простое число $p$ входит в каноническое разложение числа $k!$. Это значение можно найти с помощью формулы Лежандра:

$n = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{k}{p^i} \rfloor = \lfloor \frac{k}{p} \rfloor + \lfloor \frac{k}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{k}{p^3} \rfloor + ...$

где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Суммирование продолжается до тех пор, пока $p^i$ не станет больше $k$, так как в этом случае $\lfloor \frac{k}{p^i} \rfloor$ будет равно нулю.

а)

Найдём наибольшее натуральное число $n$, для которого $10!$ кратно $2^n$. В данном случае $k=10$ и $p=2$.

Применяем формулу Лежандра:

$n = \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^3} \rfloor = \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{4} \rfloor + \lfloor \frac{10}{8} \rfloor = 5 + 2 + 1 = 8$.

Следующий член суммы, $\lfloor \frac{10}{16} \rfloor$, равен 0, поэтому вычисления завершены.

Ответ: 8

б)

Найдём наибольшее натуральное число $n$, для которого $16!$ кратно $2^n$. Здесь $k=16$ и $p=2$.

Вычисляем по формуле:

$n = \lfloor \frac{16}{2} \rfloor + \lfloor \frac{16}{4} \rfloor + \lfloor \frac{16}{8} \rfloor + \lfloor \frac{16}{16} \rfloor = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$.

Следующий член суммы, $\lfloor \frac{16}{32} \rfloor$, равен 0.

Ответ: 15

в)

Найдём наибольшее натуральное число $n$, для которого $26!$ кратно $5^n$. Здесь $k=26$ и $p=5$.

Вычисляем по формуле:

$n = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{5^2} \rfloor = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{25} \rfloor = 5 + 1 = 6$.

Следующий член суммы, $\lfloor \frac{26}{125} \rfloor$, равен 0.

Ответ: 6

г)

Найдём наибольшее натуральное число $n$, для которого $28!$ кратно $3^n$. Здесь $k=28$ и $p=3$.

Вычисляем по формуле:

$n = \lfloor \frac{28}{3} \rfloor + \lfloor \frac{28}{3^2} \rfloor + \lfloor \frac{28}{3^3} \rfloor = \lfloor \frac{28}{3} \rfloor + \lfloor \frac{28}{9} \rfloor + \lfloor \frac{28}{27} \rfloor = 9 + 3 + 1 = 13$.

Следующий член суммы, $\lfloor \frac{28}{81} \rfloor$, равен 0.

Ответ: 13