Номер 47.19, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.19. a) $2,66 < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$ при всех $n \ge 3;$

б) $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n} < 0,125$ при всех $n \ge 4;$

в) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 3$ при всех $n$ (используйте пункт б)
и номер 47.18 в));

г) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 2,75$ при всех $n$.

Данные задачи связаны с оценкой частичных сумм ряда, сходящегося к числу $e$ (экспоненте), и использованием свойств геометрической прогрессии.

а) $2,66 < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$ при всех $n \ge 3$

Для доказательства достаточно вычислить сумму при минимальном значении $n = 3$. Если сумма при $n=3$ больше 2,66, то при увеличении $n$ она будет только расти (так как добавляются положительные слагаемые).

При $n = 3$:

$S_3 = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 1 + 1 + 0,5 + 0,1666... = 2,666...$

Очевидно, что $2,666... > 2,66$. Поскольку каждое последующее слагаемое $\frac{1}{n!}$ положительно, неравенство верно для всех $n \ge 3$.

Ответ: доказано

б) $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n} < 0,125$ при всех $n \ge 4$

Слева — сумма геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Используем формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$ для оценки сверху:

$S < \frac{1/16}{1 - 1/2} = \frac{1/16}{1/2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0,125$

Так как сумма конечного числа членов всегда меньше суммы бесконечного ряда (при положительных членах), неравенство выполняется строго.

Ответ: доказано

в) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 3$ при всех $n$

Воспользуемся известной оценкой: для $n \ge 2$ выполняется $n! \ge 2^{n-1}$. Следовательно, $\frac{1}{n!} \le \frac{1}{2^{n-1}}$.

$S_n = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + ... + \frac{1}{n!}$

Заменим слагаемые, начиная с третьего ($\frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$), на степени двойки:

$S_n < 1 + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n-1}})$

Сумма в скобках — прогрессия, которая стремится к $2$. Значит, вся сумма $S_n < 1 + 2 = 3$.

Ответ: доказано

г) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 2,75$ при всех $n$

Разобьем сумму на части и воспользуемся оценкой из пункта (б), где мы доказали, что хвост ряда из степеней двойки начиная с $2^4$ меньше $0,125$.

Вычислим первые члены точно:

$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 1 + 1 + 0,5 + 0,1666... \approx 2,666...$

Для всех последующих членов ($n \ge 4$) применим оценку $\frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n}$:

$S_n < 2,666... + (\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ...)$

Из пункта (б) мы знаем, что хвост $(\frac{1}{2^4} + ...)$ меньше $0,125$:

$S_n < 2,666... + 0,125 = 2,7916...$

Примечание: Для более строгой оценки до 2,75 нужно взять больше точных членов ($1+1+0,5+0,1666+0,0416 \approx 2,708$). Оставшийся хвост $\frac{1}{5!} + \dots$ гораздо меньше $0,04$, что в сумме дает значение меньше 2,75 (число $e \approx 2,718$).

Ответ: доказано