Номер 47.19, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.19. a) $2,66 < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$ при всех $n \ge 3;$

б) $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n} < 0,125$ при всех $n \ge 4;$

в) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 3$ при всех $n$ (используйте пункт б)
и номер 47.18 в));

г) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 2,75$ при всех $n$.

а) Требуется доказать, что $2,66 < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$ при всех $n \ge 3$.

Обозначим сумму $S_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$.

Последовательность $S_n$ является строго возрастающей, так как каждый следующий член последовательности получается из предыдущего добавлением положительного слагаемого $\frac{1}{(n+1)!}$.

Следовательно, если мы докажем неравенство для наименьшего значения $n$ из условия, то есть для $n=3$, то оно будет выполняться и для всех $n > 3$, поскольку $S_n > S_3$.

Найдем значение $S_3$:

$S_3 = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 2 + 0,5 + \frac{1}{6} = 2,5 + \frac{1}{6}$.

Преобразуем $\frac{1}{6}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1\bar{6}$.

Тогда $S_3 = 2,5 + 0,1\bar{6} = 2,6\bar{6}$.

Сравним $S_3$ с $2,66$: $2,6\bar{6} = 2,666... > 2,66$.

Таким образом, $S_3 > 2,66$. Поскольку $S_n$ возрастает, то для любого $n \ge 3$ выполняется $S_n \ge S_3 > 2,66$.

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать, что $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n} < 0,125$ при всех $n \ge 4$.

Рассмотрим данную сумму $S_n = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n}$. Это частичная сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим сумму соответствующего бесконечного ряда: $S = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{2^6} + ...$

Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{1/16}{1 - 1/2} = \frac{1/16}{1/2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

Преобразуем $0,125$ в обыкновенную дробь: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Таким образом, сумма бесконечного ряда равна $0,125$.

Данная в условии сумма $S_n$ является частичной суммой этого бесконечного ряда. Так как все члены ряда положительны, любая его конечная частичная сумма будет строго меньше полной суммы бесконечного ряда.

Следовательно, $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n} < \frac{1}{8} = 0,125$ для любого $n \ge 4$.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Требуется доказать, что $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 3$ при всех $n$.

Обозначим сумму $S_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$.

Сначала проверим неравенство для малых $n$.

При $n=1: S_1 = 1 + \frac{1}{1!} = 2 < 3$.

При $n=2: S_2 = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} = 2 + \frac{1}{2} = 2,5 < 3$.

При $n=3: S_3 = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 2,5 + \frac{1}{6} = \frac{8}{3} \approx 2,67 < 3$.

Теперь докажем для $n \ge 4$. Разделим сумму на две части:

$S_n = (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}) + (\frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ... + \frac{1}{n!})$.

Первая часть равна $S_3 = \frac{8}{3}$.

Для оценки второй части докажем вспомогательное неравенство $k! > 2^k$ для всех $k \ge 4$ методом математической индукции.

База индукции ($k=4$): $4! = 24$, $2^4 = 16$. $24 > 16$, неравенство верно.

Шаг индукции: Предположим, что $m! > 2^m$ для некоторого $m \ge 4$. Докажем, что $(m+1)! > 2^{m+1}$.

$(m+1)! = (m+1) \cdot m!$. По предположению индукции, $(m+1) \cdot m! > (m+1) \cdot 2^m$. Так как $m \ge 4$, то $m+1 \ge 5 > 2$. Следовательно, $(m+1) \cdot 2^m > 2 \cdot 2^m = 2^{m+1}$.

Таким образом, $(m+1)! > 2^{m+1}$. Неравенство $k! > 2^k$ доказано для всех $k \ge 4$.

Из этого следует, что $\frac{1}{k!} < \frac{1}{2^k}$ для всех $k \ge 4$.

Теперь оценим вторую часть суммы:

$\frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ... + \frac{1}{n!} < \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n}$.

Используя результат пункта б), мы знаем, что $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ... + \frac{1}{2^n} < 0,125 = \frac{1}{8}$.

Следовательно, для $n \ge 4$ имеем:

$S_n < S_3 + \frac{1}{8} = \frac{8}{3} + \frac{1}{8} = \frac{64+3}{24} = \frac{67}{24}$.

Так как $3 = \frac{72}{24}$, а $67 < 72$, то $\frac{67}{24} < 3$.

Мы показали, что $S_n < 3$ для $n=1,2,3$ и для $n \ge 4$. Таким образом, неравенство верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Требуется доказать, что $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} < 2,75$ при всех $n$.

Обозначим сумму $S_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$.

Проверим неравенство для $n \le 4$.

$S_1 = 2 < 2,75$.

$S_2 = 2,5 < 2,75$.

$S_3 = \frac{8}{3} \approx 2,667 < 2,75$.

$S_4 = S_3 + \frac{1}{4!} = \frac{8}{3} + \frac{1}{24} = \frac{64+1}{24} = \frac{65}{24}$. Сравним с $2,75 = \frac{11}{4} = \frac{66