Номер 47.24, страница 291, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.24. В зоопарке надо распределить по одному пять львов по пяти клеткам, четырёх тигров — по четырём другим клеткам и трёх слонов — по трём вольерам.

а) Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке.

б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку.

а) Для решения задачи необходимо найти число перестановок для каждой группы животных, поскольку все животные и все клетки/вольеры являются различными. Распределение каждой группы животных является независимым событием, поэтому общее число всех возможных распределений будет равно произведению числа способов распределения для каждой группы.

Число способов распределить 5 львов по 5 клеткам равно числу перестановок из 5 элементов:

$N_{львы} = P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Число способов распределить 4 тигров по 4 клеткам равно числу перестановок из 4 элементов:

$N_{тигры} = P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Число способов распределить 3 слонов по 3 вольерам равно числу перестановок из 3 элементов:

$N_{слоны} = P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения:

$N_{общ} = N_{львы} \times N_{тигры} \times N_{слоны} = 120 \times 24 \times 6 = 17280$

Ответ: 17280

б) В этом случае условия для распределения тигров и слонов не меняются, поэтому количество способов их размещения остается прежним:

$N_{тигры} = 4! = 24$

$N_{слоны} = 3! = 6$

Рассмотрим распределение львов. У нас есть 4 льва и 1 львица. Одного конкретного льва и львицу нужно посадить в одну клетку. Будем рассматривать эту пару (лев и львица) как один единый объект. Тогда нам нужно разместить 3 оставшихся львов и эту пару, то есть всего 4 различных объекта, по 5 различным клеткам. Один объект в одну клетку, значит одна клетка останется пустой.

Это задача на нахождение числа размещений. Число способов разместить $k$ различных объектов по $n$ различным местам равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $k=4$ (3 льва и 1 пара) и $n=5$ (клеток). Число способов распределить львов:

$N_{львы} = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения:

$N_{общ} = N_{львы} \times N_{тигры} \times N_{слоны} = 120 \times 24 \times 6 = 17280$

Ответ: 17280