Номер 48.5, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

48.5. a) $C_{17}^2;$

б) $C_{100}^2;$

В) $C_5^3;$

Г) $C_8^4.$

Для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$, которое обозначается как $C_n^k$ (читается «C из n по k»), используется следующая формула:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

а) Вычислим $C_{17}^2$.
В данном случае $n=17$ и $k=2$.
Применяем формулу числа сочетаний:
$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2! \cdot 15!}$
Расписываем факториалы для сокращения: $17! = 15! \cdot 16 \cdot 17$ и $2! = 1 \cdot 2 = 2$.
$C_{17}^2 = \frac{15! \cdot 16 \cdot 17}{2 \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17}{2}$
Сокращаем 16 и 2:
$C_{17}^2 = 8 \cdot 17 = 136$
Ответ: 136

б) Вычислим $C_{100}^2$.
Здесь $n=100$ и $k=2$.
$C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100!}{2! \cdot 98!}$
Расписываем $100!$ как $98! \cdot 99 \cdot 100$:
$C_{100}^2 = \frac{98! \cdot 99 \cdot 100}{2 \cdot 98!} = \frac{99 \cdot 100}{2}$
Сокращаем 100 и 2:
$C_{100}^2 = 99 \cdot 50 = 4950$
Ответ: 4950

в) Вычислим $C_5^3$.
Здесь $n=5$ и $k=3$.
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}$
Расписываем факториалы: $5! = 3! \cdot 4 \cdot 5$ и $2! = 1 \cdot 2 = 2$.
$C_5^3 = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Можно также воспользоваться свойством симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$.
Ответ: 10

г) Вычислим $C_8^4$.
Здесь $n=8$ и $k=4$.
$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}$
Расписываем больший факториал в числителе: $8! = 4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8$.
$C_8^4 = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4!}$
Расписываем $4!$ в знаменателе: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
$C_8^4 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$
Производим сокращения в дроби: $2 \cdot 4 = 8$, поэтому можно сократить 8 в числителе с 2 и 4 в знаменателе. Также сокращаем 6 и 3.
$C_8^4 = \frac{5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot 7 \cdot \frac{8}{4} = 5 \cdot 7 \cdot 2 = 70$
Ответ: 70