Номер 48.9, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.9. Составив частное двух чисел, выясните, какое из них больше:

а) $C_{17}^3$ или $C_{18}^4$;

б) $C_{18}^4$ или $C_{19}^5$;

в) $C_{19}^5$ или $C_{18}^6$;

г) $C_n^7$ или $C_{n+1}^8$.

а) Чтобы сравнить числа $C_{17}^3$ и $C_{18}^4$, составим их частное. Рассмотрим отношение $\frac{C_{18}^4}{C_{17}^3}$.

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{18}^4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!}$

$C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17!}{3! \cdot 14!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{18}^4}{C_{17}^3} = \frac{\frac{18!}{4! \cdot 14!}}{\frac{17!}{3! \cdot 14!}} = \frac{18!}{4! \cdot 14!} \cdot \frac{3! \cdot 14!}{17!} = \frac{18! \cdot 3!}{17! \cdot 4!}$

Используя свойства факториала $18! = 18 \cdot 17!$ и $4! = 4 \cdot 3!$, получаем:

$\frac{18 \cdot 17! \cdot 3!}{17! \cdot 4 \cdot 3!} = \frac{18}{4} = 4.5$

Поскольку отношение $\frac{C_{18}^4}{C_{17}^3} > 1$, то $C_{18}^4 > C_{17}^3$.

Ответ: $C_{18}^4 > C_{17}^3$.

б) Сравним числа $C_{18}^4$ и $C_{19}^5$. Составим их частное $\frac{C_{19}^5}{C_{18}^4}$.

По определению:

$C_{19}^5 = \frac{19!}{5!(19-5)!} = \frac{19!}{5! \cdot 14!}$

$C_{18}^4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^4} = \frac{\frac{19!}{5! \cdot 14!}}{\frac{18!}{4! \cdot 14!}} = \frac{19!}{5! \cdot 14!} \cdot \frac{4! \cdot 14!}{18!} = \frac{19! \cdot 4!}{18! \cdot 5!}$

Используя свойства факториала $19! = 19 \cdot 18!$ и $5! = 5 \cdot 4!$, получаем:

$\frac{19 \cdot 18! \cdot 4!}{18! \cdot 5 \cdot 4!} = \frac{19}{5} = 3.8$

Поскольку отношение $\frac{C_{19}^5}{C_{18}^4} > 1$, то $C_{19}^5 > C_{18}^4$.

Ответ: $C_{19}^5 > C_{18}^4$.

в) Сравним числа $C_{19}^5$ и $C_{18}^6$. Составим их частное, например, $\frac{C_{18}^6}{C_{19}^5}$.

По определению:

$C_{18}^6 = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18!}{6! \cdot 12!}$

$C_{19}^5 = \frac{19!}{5!(19-5)!} = \frac{19!}{5! \cdot 14!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{18}^6}{C_{19}^5} = \frac{\frac{18!}{6! \cdot 12!}}{\frac{19!}{5! \cdot 14!}} = \frac{18!}{6! \cdot 12!} \cdot \frac{5! \cdot 14!}{19!}$

Используя свойства факториала $19! = 19 \cdot 18!$, $6! = 6 \cdot 5!$ и $14! = 14 \cdot 13 \cdot 12!$, получаем:

$\frac{18! \cdot 5! \cdot (14 \cdot 13 \cdot 12!)}{(6 \cdot 5!) \cdot 12! \cdot (19 \cdot 18!)} = \frac{14 \cdot 13}{6 \cdot 19} = \frac{182}{114} = \frac{91}{57}$

Поскольку $\frac{91}{57} > 1$, то $C_{18}^6 > C_{19}^5$.

Ответ: $C_{18}^6 > C_{19}^5$.

г) Сравним числа $C_n^7$ и $C_{n+1}^8$.

Данные выражения определены при условии $n \ge 7$ и $n+1 \ge 8$, то есть для целых $n \ge 7$.

Составим частное $\frac{C_{n+1}^8}{C_n^7}$.

По определению:

$C_{n+1}^8 = \frac{(n+1)!}{8!(n+1-8)!} = \frac{(n+1)!}{8!(n-7)!}$

$C_n^7 = \frac{n!}{7!(n-7)!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{n+1}^8}{C_n^7} = \frac{\frac{(n+1)!}{8!(n-7)!}}{\frac{n!}{7!(n-7)!}} = \frac{(n+1)!}{8!(n-7)!} \cdot \frac{7!(n-7)!}{n!} = \frac{(n+1)! \cdot 7!}{n! \cdot 8!}$

Используя свойства факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ и $8! = 8 \cdot 7!$, получаем:

$\frac{(n+1) \cdot n! \cdot 7!}{n! \cdot 8 \cdot 7!} = \frac{n+1}{8}$

Результат сравнения зависит от значения $n$:

1. Если отношение $\frac{n+1}{8} > 1$, то есть $n+1 > 8 \implies n > 7$. В этом случае $C_{n+1}^8 > C_n^7$.

2. Если отношение $\frac{n+1}{8} = 1$, то есть $n+1 = 8 \implies n = 7$. В этом случае $C_{n+1}^8 = C_n^7$.

3. Если отношение $\frac{n+1}{8} < 1$, то есть $n+1 < 8 \implies n < 7$. Этот случай невозможен, так как мы рассматриваем $n \ge 7$.

Ответ: если $n=7$, то $C_n^7 = C_{n+1}^8$; если $n>7$, то $C_{n+1}^8 > C_n^7$.