Номер 48.16, страница 294, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.16. Из колоды в 36 карт выбирают одновременно 5 карт.
Найдите:

а) число всех возможных вариантов выбранных карт;

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза;

в) число вариантов, при которых все полученные карты — пики;

г) число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти.

а) число всех возможных вариантов выбранных карт;

Поскольку порядок выбора карт не имеет значения ("выбирают одновременно"), мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае необходимо выбрать $k=5$ карт из колоды в $n=36$ карт.
Число всех возможных вариантов равно числу сочетаний из 36 по 5:
$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
Сократим дробь:
$C_{36}^5 = (36 \div (4 \times 3)) \times (35 \div 5) \times 34 \times 33 \times (32 \div 2) = 3 \times 7 \times 34 \times 33 \times 16 = 376992$.
Ответ: 376992.

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза;

В колоде из 36 карт содержится 4 туза. Чтобы в наборе из 5 карт было четыре туза, необходимо выбрать все 4 туза и еще одну любую карту из оставшихся.
Число способов выбрать 4 туза из 4 имеющихся равно $C_4^4 = 1$.
Пятую карту нужно выбрать из оставшихся $36 - 4 = 32$ карт (которые не являются тузами). Число способов сделать это равно $C_{32}^1 = 32$.
Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число таких вариантов равно произведению числа способов для каждого выбора:
$N = C_4^4 \times C_{32}^1 = 1 \times 32 = 32$.
Ответ: 32.

в) число вариантов, при которых все полученные карты — пики;

В колоде из 36 карт 4 масти. Каждая масть содержит $36 \div 4 = 9$ карт. Таким образом, в колоде 9 карт пиковой масти.
Нужно найти число способов выбрать 5 карт пиковой масти из 9 имеющихся. Это число сочетаний из 9 по 5:
$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
Выполним вычисления:
$C_9^5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 9 \times \frac{8}{4 \times 2} \times 7 \times \frac{6}{3} = 9 \times 1 \times 7 \times 2 = 126$.
Ответ: 126.

г) число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти.

Данное условие означает, что все 5 карт могут быть либо пиками, либо трефами, либо бубнами, либо червами.
Число вариантов, при которых все 5 карт — пики, мы нашли в предыдущем пункте: $C_9^5 = 126$.
Поскольку в каждой из четырех мастей по 9 карт, число способов выбрать 5 карт одной масти будет одинаковым для любой масти.
Так как эти события (5 карт одной масти) несовместны, по правилу суммы общее число вариантов равно сумме вариантов для каждой масти, или, что то же самое, произведению числа мастей на число вариантов для одной масти:
$N = 4 \times C_9^5 = 4 \times 126 = 504$.
Ответ: 504.