Номер 48.15, страница 294, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

048.15. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут:

а) выбрать каждый для себя по одному инструменту из 15 данных;

б) выбрать набор из пяти инструментов из имеющихся 12 инструментов;

в) сесть по одному за какие-то четыре из выбранных в пункте б) инструмента;

г) выгнать одного из участников квартета и потом сесть за какие-то три выбранных в пункте б) инструмента?

а) В этой задаче 4 участника квартета должны выбрать по одному инструменту из 15 доступных. Так как важно, какой именно участник какой инструмент выберет (например, Мартышка со скрипкой — это не то же самое, что Осёл со скрипкой), мы имеем дело с размещениями. Порядок выбора важен.

Первый участник может выбрать любой из 15 инструментов. У второго участника останется выбор из 14 инструментов, у третьего — из 13, а у четвертого — из 12.

Общее число способов равно произведению этих возможностей, что соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=15$ (инструменты) и $k=4$ (участники):

$A_{15}^4 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 32760$

Ответ: 32760.

б) Здесь необходимо выбрать набор из 5 инструментов из 12 имеющихся. Слово "набор" означает, что порядок выбора инструментов не имеет значения. Следовательно, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=12$ (всего инструментов) и $k=5$ (инструменты, которые нужно выбрать):

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$

Ответ: 792.

в) Теперь у нас есть 4 участника и 5 инструментов, выбранных в предыдущем пункте. Нужно рассадить участников за 4 из этих 5 инструментов. Снова важен порядок, так как каждый участник сядет за конкретный инструмент.

Это задача на размещение 4 участников по 5 "вакантным местам" (инструментам). Фактически, мы выбираем 4 инструмента из 5 и одновременно распределяем их между 4 участниками. Это число размещений из 5 по 4.

Используем формулу $A_n^k$, где $n=5$ (доступные инструменты) и $k=4$ (участники):

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$

Ответ: 120.

г) Эта задача решается в два шага:

1. Сначала нужно выгнать одного из 4 участников квартета. Количество способов сделать это равно 4 (можно выгнать Мартышку, Осла, Козла или Мишку). Это можно рассчитать как $C_4^1 = 4$.

2. После этого остаются 3 участника. Им нужно сесть за 3 из 5 инструментов, выбранных в пункте б). Как и в пункте в), это задача на размещения, так как важно, кто на каком инструменте будет играть. Нам нужно разместить 3 участников по 5 инструментам.

Число таких размещений из 5 по 3 вычисляется по формуле $A_n^k$:

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество способов для каждого шага (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$N = (\text{способы выгнать}) \cdot (\text{способы сесть}) = 4 \cdot A_5^3 = 4 \cdot 60 = 240$

Ответ: 240.