Номер 48.20, страница 295, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.20. a) Докажите, что последовательность $A_{n+1}^4 / C_{n+2}^4$, $n = 3, 4, 5, \dots$, монотонно возрастает.

б) Докажите, что все члены этой последовательности больше числа 4.

в) Укажите наименьший номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше 20.

г) Найдите предел этой последовательности при $n \rightarrow \infty$.

Для начала упростим выражение для общего члена последовательности $x_n = \frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4}$, заданной для $n = 3, 4, 5, \dots$.

Используем формулы для числа размещений $A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!}$ и числа сочетаний $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$.

Число размещений из $n+1$ по 4:

$A_{n+1}^4 = \frac{(n+1)!}{(n+1-4)!} = \frac{(n+1)!}{(n-3)!} = (n+1)n(n-1)(n-2)$.

Число сочетаний из $n+2$ по 4:

$C_{n+2}^4 = \frac{(n+2)!}{4!(n+2-4)!} = \frac{(n+2)!}{4!(n-2)!} = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!}$.

Теперь подставим эти выражения в формулу для $x_n$:

$x_n = \frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!}} = \frac{4! \cdot (n+1)n(n-1)(n-2)}{(n+2)(n+1)n(n-1)}$.

Сокращая общие множители в числителе и знаменателе и учитывая, что $4! = 24$, получаем:

$x_n = \frac{24(n-2)}{n+2}$.

Теперь решим пункты задачи, используя полученную формулу.

а) Докажите, что последовательность монотонно возрастает.

Чтобы доказать, что последовательность $x_n$ монотонно возрастает, необходимо показать, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть $x_{n+1} > x_n$ для всех $n \ge 3$. Рассмотрим отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$.

Запишем $(n+1)$-й член последовательности:

$x_{n+1} = \frac{24((n+1)-2)}{(n+1)+2} = \frac{24(n-1)}{n+3}$.

Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{24(n-1)}{n+3}}{\frac{24(n-2)}{n+2}} = \frac{n-1}{n+3} \cdot \frac{n+2}{n-2} = \frac{(n-1)(n+2)}{(n+3)(n-2)} = \frac{n^2+n-2}{n^2+n-6}$.

Чтобы сравнить эту дробь с единицей, представим числитель в виде $n^2+n-2 = (n^2+n-6)+4$. Тогда отношение примет вид:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n^2+n-6)+4}{n^2+n-6} = 1 + \frac{4}{n^2+n-6}$.

Для возрастания последовательности требуется, чтобы $\frac{x_{n+1}}{x_n} > 1$, что равносильно $\frac{4}{n^2+n-6} > 0$. Так как числитель 4 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $n^2+n-6 > 0$.

Корни квадратного трехчлена $n^2+n-6$ равны $n_1=2$ и $n_2=-3$. График функции $y=n^2+n-6$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $n>2$ или $n<-3$.

Поскольку по условию задачи $n \ge 3$, условие $n>2$ всегда выполняется. Следовательно, $\frac{x_{n+1}}{x_n} > 1$ для всех $n \ge 3$, и последовательность монотонно возрастает.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажите, что все члены этой последовательности больше числа 4.

Нужно доказать, что $x_n > 4$ для всех $n \ge 3$. В пункте а) мы доказали, что последовательность монотонно возрастает. Это значит, что ее наименьшим членом является первый, т.е. $x_3$.

Вычислим $x_3$:

$x_3 = \frac{24(3-2)}{3+2} = \frac{24 \cdot 1}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$.

Так как $x_3 = 4.8 > 4$, и все последующие члены последовательности больше $x_3$, то все члены последовательности больше 4.8, а значит, и больше 4. Таким образом, $x_n > 4$ для всех $n \ge 3$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Укажите наименьший номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше 20.

Нужно найти наименьшее целое $n \ge 3$, для которого выполняется неравенство $x_n > 20$.

$\frac{24(n-2)}{n+2} > 20$.

Поскольку при $n \ge 3$ знаменатель $n+2$ положителен, можно умножить обе части неравенства на $n+2$:

$24(n-2) > 20(n+2)$.

Разделим обе части на 4:

$6(n-2) > 5(n+2)$

$6n - 12 > 5n + 10$

$6n - 5n > 10 + 12$

$n > 22$.

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=23$.

Ответ: 23.

г) Найдите предел этой последовательности при n > ?.

Найдем предел последовательности $x_n = \frac{24(n-2)}{n+2}$ при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{24(n-2)}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{24n-48}{n+2}$.

Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на $n$ (наивысшая степень переменной):

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{24n-48}{n}}{\frac{n+2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{24 - \frac{48}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.

Так как при $n \to \infty$ дроби $\frac{48}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, предел равен:

$\frac{24 - 0}{1 + 0} = 24$.

Ответ: 24.