Номер 48.17, страница 294, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.17. По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трёх певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц.

а) Сколько существует различных вариантов состава хора?

б) То же, но если известно, что певцы A и Б ни за что не будут петь вместе.

в) То же, но если известно, что певец A будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица B.

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придётся выступать одной певице.

а) Для формирования состава хора необходимо выбрать 5 певцов из 10 имеющихся и 3 певицы из 8 имеющихся. Поскольку порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 5 певцов из 10: $C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.

Число способов выбрать 3 певицы из 8: $C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

Общее число различных вариантов состава хора равно произведению числа способов выбора певцов и певиц, так как эти выборы являются независимыми событиями. Общее число вариантов: $N = C_{10}^5 \times C_8^3 = 252 \times 56 = 14112$.
Ответ: 14112

б) Условие, что певцы А и Б не будут петь вместе, означает, что в хоре может быть либо только А, либо только Б, либо ни одного из них. Проще всего решить эту задачу, найдя общее число вариантов (рассчитанное в пункте а) и вычтя из него количество вариантов, при которых А и Б поют вместе.

Найдем количество вариантов, когда А и Б поют вместе. Если оба певца А и Б включены в хор, то нам остается выбрать еще $5 - 2 = 3$ певца из оставшихся $10 - 2 = 8$ певцов. Число способов сделать это: $C_8^3 = 56$. Число способов выбрать 3 певицы из 8 остается прежним: $C_8^3 = 56$.

Число вариантов, когда А и Б поют вместе: $N_{АиБ} = C_8^3 \times C_8^3 = 56 \times 56 = 3136$.

Теперь вычтем это число из общего числа вариантов, чтобы найти количество составов, где А и Б не поют вместе: $N = 14112 - 3136 = 10976$.
Ответ: 10976

в) Условие "певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В" разбивает задачу на два непересекающихся случая:

1. Певец А и певица В оба участвуют в хоре. В этом случае нам нужно добрать $5 - 1 = 4$ певца из оставшихся $10 - 1 = 9$ певцов, и $3 - 1 = 2$ певицы из оставшихся $8 - 1 = 7$ певиц. Число вариантов для этого случая: $N_1 = C_9^4 \times C_7^2 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2} = 126 \times 21 = 2646$.

2. Ни певец А, ни певица В не участвуют в хоре. В этом случае нам нужно выбрать 5 певцов из оставшихся 9, и 3 певицы из оставшихся 7. Число вариантов для этого случая: $N_2 = C_9^5 \times C_7^3 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 126 \times 35 = 4410$.

Общее число вариантов равно сумме вариантов для этих двух случаев: $N = N_1 + N_2 = 2646 + 4410 = 7056$.
Ответ: 7056

г) По условию, 6 певцов сорвали голос, следовательно, для отбора доступно $10 - 6 = 4$ певца. По программе в хоре должно быть 5 певцов, но так как в наличии только 4, то все они должны быть включены в состав.

Фраза "вместо недостающего певца придётся выступать одной певице" означает, что состав хора изменится. Вместо одного недостающего певца в хор войдет одна дополнительная певица. Таким образом, новый состав хора будет включать 4 певца и $3 + 1 = 4$ певицы.

Число способов выбрать 4 певца из 4 доступных: $C_4^4 = 1$.

Число способов выбрать 4 певицы из 8 доступных: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.

Общее число вариантов состава хора в этом случае: $N = C_4^4 \times C_8^4 = 1 \times 70 = 70$.
Ответ: 70