Номер 48.11, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.11. a) $A_x^5 = 18A_{x-2}^4$;

б) $A_{x-1}^2 - C_x^1 = 79.$

а) $A_x^5 = 18A_{x-2}^4$

Данное уравнение содержит число размещений. Формула для числа размещений из $n$ по $k$ имеет вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Для $A_x^5$ должно выполняться условие $x \geq 5$.
Для $A_{x-2}^4$ должно выполняться условие $x-2 \geq 4$, что означает $x \geq 6$.
Так как $x$ должен быть натуральным числом, общая ОДЗ: $x \in \mathbb{N}, x \geq 6$.

Используя формулу для числа размещений, распишем обе части уравнения:
$A_x^5 = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$A_{x-2}^4 = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 18 \cdot (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Поскольку согласно ОДЗ $x \geq 6$, множители $(x-2)$, $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на их произведение:
$x(x-1) = 18(x-5)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - x = 18x - 90$
$x^2 - 19x + 90 = 0$

Найдем корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 19, а их произведение равно 90. Этим условиям удовлетворяют числа 9 и 10.
$x_1 = 9$, $x_2 = 10$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \geq 6$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 \geq 6$.
Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $10 \geq 6$.
Следовательно, оба значения являются решениями уравнения.

Ответ: 9; 10.

б) $A_{x-1}^2 - C_x^1 = 79$

Данное уравнение содержит число размещений ($A_n^k$) и число сочетаний ($C_n^k$). Их формулы:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Для $A_{x-1}^2$ должно выполняться условие $x-1 \geq 2$, то есть $x \geq 3$.
Для $C_x^1$ должно выполняться условие $x \geq 1$.
Объединяя условия и учитывая, что $x$ - натуральное число, получаем ОДЗ: $x \in \mathbb{N}, x \geq 3$.

Распишем члены уравнения по формулам:
$A_{x-1}^2 = (x-1)((x-1)-1) = (x-1)(x-2)$
$C_x^1 = \frac{x!}{1!(x-1)!} = x$

Подставим выражения в уравнение:
$(x-1)(x-2) - x = 79$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - x + 2 - x = 79$
$x^2 - 4x + 2 = 79$
$x^2 - 4x - 77 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324 = 18^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 18}{2}$
$x_1 = \frac{4 - 18}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{4 + 18}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 3$).
Корень $x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он не является натуральным числом и меньше 3.
Корень $x_2 = 11$ удовлетворяет ОДЗ, так как $11 \geq 3$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: 11.