Номер 48.18, страница 295, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.18. Пусть $y(n) = \frac{C_n^3}{A_{n-1}^3}$, $n \ge 4$.

а) Укажите дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки $(n; y(n))$.

б) Постройте график этой функции.

в) Укажите наибольшее $n$, при котором $y(n) > 0,25$.

г) Укажите наименьшее $n$, при котором $y(n)$ отличается от $\frac{1}{6}$ менее чем на $0,01$.

а) Исходная функция задана как $y(n) = \frac{C_n^3}{A_{n-1}^3}$ при $n \ge 4$.
Воспользуемся формулами для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Найдем выражение для числителя:
$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
Найдем выражение для знаменателя:
$A_{n-1}^3 = \frac{(n-1)!}{((n-1)-3)!} = \frac{(n-1)!}{(n-4)!} = (n-1)(n-2)(n-3)$.
Теперь подставим эти выражения в исходную формулу для $y(n)$:
$y(n) = \frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{(n-1)(n-2)(n-3)}$.
Поскольку по условию $n \ge 4$, множители $(n-1)$, $(n-2)$ и $(n-3)$ не равны нулю, и мы можем сократить дробь:
$y(n) = \frac{n}{6(n-3)}$.
Чтобы найти дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки $(n; y(n))$, мы заменяем дискретную переменную $n$ на непрерывную переменную $x$.
Искомая функция: $y = \frac{x}{6(x-3)} = \frac{x}{6x-18}$.
Ответ: $y = \frac{x}{6x - 18}$.

б) Графиком функции $y = \frac{x}{6x - 18}$ является гипербола. Для построения графика определим его ключевые характеристики:
1. Асимптоты. Вертикальная асимптота находится из условия равенства знаменателя нулю: $6x - 18 = 0$, откуда $x = 3$. Горизонтальная асимптота находится как предел функции при $x \to \infty$: $y = \lim_{x\to\infty} \frac{x}{6x - 18} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{6 - \frac{18}{x}} = \frac{1}{6}$.
2. Точки пересечения с осями. Если $x=0$, то $y=\frac{0}{-18}=0$. Если $y=0$, то $x=0$. Следовательно, график пересекает оси координат только в одной точке — начале координат $(0,0)$.
3. Поведение функции. Производная функции $y' = \frac{1(6x-18) - x(6)}{(6x-18)^2} = \frac{-18}{(6x-18)^2}$ отрицательна при всех $x$ из области определения. Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.
График состоит из двух ветвей. Одна ветвь проходит через точку $(0,0)$ и асимптотически приближается к прямым $x=3$ (стремясь к $-\infty$) и $y=1/6$. Вторая ветвь полностью лежит в первой координатной четверти, асимптотически приближаясь к прямым $x=3$ (стремясь к $+\infty$) и $y=1/6$. Именно на этой второй ветви лежат все точки $(n; y(n))$ для $n \ge 4$. Например, $(4; 2/3)$, $(5; 5/12)$, $(9; 1/4)$.
Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=1/6$, проходящая через начало координат. Точки $(n; y(n))$ для $n \ge 4$ лежат на ветви гиперболы в первой координатной четверти.

в) Необходимо найти наибольшее целое $n \ge 4$, для которого выполняется неравенство $y(n) > 0,25$.
Запишем неравенство, используя полученное выражение для $y(n)$:
$\frac{n}{6(n-3)} > 0,25$
$\frac{n}{6n-18} > \frac{1}{4}$
При $n \ge 4$ знаменатель $6n-18$ положителен, поэтому можно умножить обе части неравенства на $4(6n-18)$, сохранив знак неравенства:
$4n > 6n-18$
$18 > 2n$
$n < 9$
Мы ищем наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее двум условиям: $n \ge 4$ и $n < 9$. Целые числа, удовлетворяющие этим условиям: $4, 5, 6, 7, 8$. Наибольшее из них — 8.
Ответ: $n=8$.

г) Необходимо найти наименьшее целое $n \ge 4$, для которого $y(n)$ отличается от $\frac{1}{6}$ менее чем на $0,01$. Это условие можно записать в виде неравенства:
$|y(n) - \frac{1}{6}| < 0,01$
Упростим выражение в левой части:
$y(n) - \frac{1}{6} = \frac{n}{6(n-3)} - \frac{1}{6} = \frac{n - (n-3)}{6(n-3)} = \frac{3}{6(n-3)} = \frac{1}{2(n-3)}$
Так как при $n \ge 4$ выражение $\frac{1}{2(n-3)}$ всегда положительно, знак модуля можно опустить:
$\frac{1}{2(n-3)} < 0,01$
$\frac{1}{2(n-3)} < \frac{1}{100}$
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$2(n-3) > 100$
$n-3 > 50$
$n > 53$
Наименьшее целое число $n$, которое больше 53, это 54. Оно также удовлетворяет исходному условию $n \ge 4$.
Ответ: $n=54$.