Номер 48.24, страница 296, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.24. Раскройте скобки в выражении:

а) $(x + 1)^7;$

б) $(2x - y)^6;$

в) $(x^2 + 2)^5;$

г) $(1 - x^3)^4.$

Для раскрытия скобок в данных выражениях используется формула бинома Ньютона, которая позволяет возвести двучлен $(a+b)$ в любую натуральную степень $n$.

Формула бинома Ньютона выглядит так:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n$

Здесь $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты, которые соответствуют числам в строке $n$ треугольника Паскаля.

а) Раскроем скобки в выражении $(x + 1)^7$.

В этом случае $a = x$, $b = 1$ и $n = 7$. Биномиальные коэффициенты для $n=7$ (седьмая строка треугольника Паскаля) равны: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Применяя формулу бинома Ньютона, получаем:

$(x + 1)^7 = C_7^0 x^7 \cdot 1^0 + C_7^1 x^6 \cdot 1^1 + C_7^2 x^5 \cdot 1^2 + C_7^3 x^4 \cdot 1^3 + C_7^4 x^3 \cdot 1^4 + C_7^5 x^2 \cdot 1^5 + C_7^6 x^1 \cdot 1^6 + C_7^7 x^0 \cdot 1^7$

Подставляем значения коэффициентов и упрощаем, учитывая, что любая степень единицы равна единице:

$(x + 1)^7 = 1 \cdot x^7 + 7 \cdot x^6 + 21 \cdot x^5 + 35 \cdot x^4 + 35 \cdot x^3 + 21 \cdot x^2 + 7 \cdot x + 1$

Ответ: $x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1$.

б) Раскроем скобки в выражении $(2x - y)^6$.

Здесь $a = 2x$, $b = -y$ и $n = 6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Подставляем в формулу бинома Ньютона:

$(2x - y)^6 = C_6^0 (2x)^6(-y)^0 + C_6^1 (2x)^5(-y)^1 + C_6^2 (2x)^4(-y)^2 + C_6^3 (2x)^3(-y)^3 + C_6^4 (2x)^2(-y)^4 + C_6^5 (2x)^1(-y)^5 + C_6^6 (2x)^0(-y)^6$

Выполняем вычисления для каждого члена разложения:

$1 \cdot (64x^6) \cdot 1 + 6 \cdot (32x^5) \cdot (-y) + 15 \cdot (16x^4) \cdot (y^2) + 20 \cdot (8x^3) \cdot (-y^3) + 15 \cdot (4x^2) \cdot (y^4) + 6 \cdot (2x) \cdot (-y^5) + 1 \cdot 1 \cdot (y^6)$

Упрощаем и получаем окончательный результат:

$64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$

Ответ: $64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$.

в) Раскроем скобки в выражении $(x^2 + 2)^5$.

В этом случае $a = x^2$, $b = 2$ и $n = 5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Применяем формулу:

$(x^2 + 2)^5 = C_5^0 (x^2)^5 \cdot 2^0 + C_5^1 (x^2)^4 \cdot 2^1 + C_5^2 (x^2)^3 \cdot 2^2 + C_5^3 (x^2)^2 \cdot 2^3 + C_5^4 (x^2)^1 \cdot 2^4 + C_5^5 (x^2)^0 \cdot 2^5$

Вычисляем степени и произведения:

$1 \cdot (x^{10}) \cdot 1 + 5 \cdot (x^8) \cdot 2 + 10 \cdot (x^6) \cdot 4 + 10 \cdot (x^4) \cdot 8 + 5 \cdot (x^2) \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32$

Упрощаем выражение:

$x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$

Ответ: $x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$.

г) Раскроем скобки в выражении $(1 - x^3)^4$.

Здесь $a = 1$, $b = -x^3$ и $n = 4$. Биномиальные коэффициенты для $n=4$ равны: 1, 4, 6, 4, 1.

Подставляем в формулу бинома Ньютона:

$(1 - x^3)^4 = C_4^0 \cdot 1^4 \cdot (-x^3)^0 + C_4^1 \cdot 1^3 \cdot (-x^3)^1 + C_4^2 \cdot 1^2 \cdot (-x^3)^2 + C_4^3 \cdot 1^1 \cdot (-x^3)^3 + C_4^4 \cdot 1^0 \cdot (-x^3)^4$

Вычисляем степени и произведения, учитывая, что $1$ в любой степени равен $1$:

$1 \cdot 1 + 4 \cdot (-x^3) + 6 \cdot (x^6) + 4 \cdot (-x^9) + 1 \cdot (x^{12})$

Упрощаем выражение:

$1 - 4x^3 + 6x^6 - 4x^9 + x^{12}$

Ответ: $1 - 4x^3 + 6x^6 - 4x^9 + x^{12}$.