Номер 48.27, страница 296, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.27. Найдите член разложения, не содержащий переменных:

а) $ \left(2x^2 + \frac{1}{x}\right)^6; $

б) $ \left(\frac{1}{x^3} + x^{-\frac{4}{3}}\right)^5; $

в) $ \left(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9; $

г) $ \left(x^{0,75} + x^{-\frac{2}{3}}\right)^{17}. $

Для нахождения члена разложения, не содержащего переменных (свободного члена), используется формула общего члена бинома Ньютона:

$$T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$$

Наша задача — найти такое значение $k$, при котором суммарный показатель степени переменной равен 0.

а) $\left(2x^2 + \frac{1}{x}\right)^6$

Общий член: $T_{k+1} = C_6^k \cdot (2x^2)^{6-k} \cdot (x^{-1})^k = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{2(6-k)} \cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12-3k}$.

Приравняем степень к нулю: $12 - 3k = 0 \Rightarrow k = 4$.

Вычислим значение: $T_5 = C_6^4 \cdot 2^{6-4} = \frac{6!}{4!2!} \cdot 2^2 = 15 \cdot 4 = 60$.

Ответ: 60

б) $\left(\frac{1}{x^3} + x^{-\frac{4}{3}}\right)^5$

Общий член: $T_{k+1} = C_5^k \cdot (x^{-3})^{5-k} \cdot (x^{-4/3})^k = C_5^k \cdot x^{-15+3k} \cdot x^{-4/3k} = C_5^k \cdot x^{-15 + 3k - 4/3k}$.

Степень: $-15 + \frac{5}{3}k = 0 \Rightarrow \frac{5}{3}k = 15 \Rightarrow k = 9$.

Так как $n=5$, а $k$ не может быть больше $n$ ($k \le 5$), в данном разложении нет члена, не содержащего переменную.

Ответ: такого члена нет

в) $\left(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9$

Общий член: $T_{k+1} = C_9^k \cdot (3a^{1/4})^{9-k} \cdot (a^{-1/2})^k = C_9^k \cdot 3^{9-k} \cdot a^{\frac{9-k}{4} - \frac{k}{2}}$.

Степень: $\frac{9-k-2k}{4} = 0 \Rightarrow 9 - 3k = 0 \Rightarrow k = 3$.

Вычислим значение: $T_4 = C_9^3 \cdot 3^{9-3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 3^6 = 84 \cdot 729 = 61236$.

Ответ: 61236

г) $\left(x^{0,75} + x^{-\frac{2}{3}}\right)^{17}$

Запишем степени: $0,75 = \frac{3}{4}$.
Общий член: $T_{k+1} = C_{17}^k \cdot (x^{3/4})^{17-k} \cdot (x^{-2/3})^k = C_{17}^k \cdot x^{\frac{3(17-k)}{4} - \frac{2k}{3}}$.

Степень: $\frac{51-3k}{4} - \frac{2k}{3} = 0$. Приведем к общему знаменателю $12$:
$3(51 - 3k) - 4(2k) = 0 \Rightarrow 153 - 9k - 8k = 0 \Rightarrow 17k = 153 \Rightarrow k = 9$.

Значение члена: $T_{10} = C_{17}^9 = \frac{17!}{9!8!} = 24310$.

Ответ: 24310