Номер 49.4, страница 297, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.4. Из набора домино случайно выбирают одну фишку. Найдите вероятность того, что:

а) это дубль;

б) одна из её половинок — пустышка;

в) различие между очками на ней больше 4;

г) сумма очков на ней больше 7.

Для решения задачи сперва определим общее число исходов. Стандартный набор домино состоит из фишек, на половинках которых нанесены точки от 0 до 6. Фишка определяется парой чисел $(i, j)$, где $i, j \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, и порядок чисел в паре не имеет значения, то есть фишка $(i, j)$ — это то же самое, что и $(j, i)$.

Общее число фишек в наборе домино можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2 (две половинки фишки). Общее число фишек $N$ равно сумме $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$. Таким образом, общее число равновозможных исходов при выборе одной фишки — $N=28$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) это дубль;

Событие A: выбранная фишка — дубль. Дубль — это фишка, у которой на обеих половинках одинаковое количество очков. В наборе домино есть следующие дубли: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Число благоприятных исходов $m_a = 7$. Вероятность того, что выбранная фишка окажется дублем, равна: $P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) одна из её половинок — пустышка;

Событие B: одна из половинок фишки — пустышка (содержит 0 очков). Найдем все фишки, у которых есть половинка с нулем очков: (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6). Число благоприятных исходов $m_б = 7$. Вероятность того, что на одной из половинок фишки будет ноль очков, равна: $P(B) = \frac{m_б}{N} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) различие между очками на ней больше 4;

Событие C: различие между очками на половинках фишки больше 4. Пусть на половинках фишки $(i, j)$ находятся очки $i$ и $j$. Нам нужно найти фишки, для которых $|i-j| > 4$, то есть различие равно 5 или 6. Перечислим все такие фишки, учитывая, что $0 \le i \le j \le 6$: Фишки с разницей в 5 очков: (0,5), (1,6). Фишка с разницей в 6 очков: (0,6). Всего таких фишек 3: (0,5), (1,6), (0,6). Число благоприятных исходов $m_в = 3$. Вероятность этого события равна: $P(C) = \frac{m_в}{N} = \frac{3}{28}$.

Ответ: $\frac{3}{28}$

г) сумма очков на ней больше 7.

Событие D: сумма очков на фишке больше 7. Пусть на половинках фишки $(i, j)$ находятся очки $i$ и $j$. Нам нужно найти фишки, для которых $i+j > 7$. Перечислим все такие фишки, учитывая, что $0 \le i \le j \le 6$: Фишки с суммой 8: (2,6), (3,5), (4,4). Фишки с суммой 9: (3,6), (4,5). Фишки с суммой 10: (4,6), (5,5). Фишка с суммой 11: (5,6). Фишка с суммой 12: (6,6). Общее число благоприятных исходов $m_г = 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9$. Вероятность этого события равна: $P(D) = \frac{m_г}{N} = \frac{9}{28}$.

Ответ: $\frac{9}{28}$