Номер 49.6, страница 298, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.6. Из чисел, расположенных в пяти первых строчках треугольника Паскаля, случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число:

а) двузначно;

б) нечётно;

в) кратно трём;

г) не является простым числом.

Для решения задачи сначала выпишем числа, расположенные в пяти первых строчках треугольника Паскаля. Нумерация строчек в треугольнике Паскаля начинается с нулевой, поэтому мы рассматриваем строчки с 0-й по 4-ю. Вот эти строчки:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Полный набор чисел, из которого производится случайный выбор: {1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1}.

Общее число элементов (исходов) в этом наборе равно сумме количеств чисел в каждой строчке: $N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число возможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$. В нашем случае $N = 15$.

а) двузначно;

Ищем среди всех чисел {1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1} двузначные. Таких чисел в данном наборе нет, все числа являются однозначными. Следовательно, количество благоприятных исходов $m = 0$. Вероятность того, что выбранное число является двузначным, составляет: $P(\text{двузначно}) = \frac{0}{15} = 0$.

Ответ: $0$

б) нечётно;

Найдём количество нечётных чисел в наборе. Нечётными являются числа 1 и 3. Число 1 встречается 9 раз, а число 3 встречается 2 раза. Общее количество нечётных чисел (благоприятных исходов) равно $m = 9 + 2 = 11$. Вероятность того, что выбранное число нечётно, равна: $P(\text{нечётно}) = \frac{11}{15}$.

Ответ: $\frac{11}{15}$

в) кратно трём;

Найдём количество чисел, кратных трём. В нашем наборе это числа 3 и 6. Число 3 встречается 2 раза, а число 6 встречается 1 раз. Общее число благоприятных исходов $m = 2 + 1 = 3$. Вероятность того, что выбранное число кратно трём, равна: $P(\text{кратно трём}) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) не является простым числом.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. В нашем наборе уникальных чисел {1, 2, 3, 4, 6} простыми являются 2 и 3. Событие "число не является простым" означает, что нужно выбрать число, которое не является простым. Такими числами в нашем наборе являются 1 (по определению не является простым), 4 (составное) и 6 (составное). Подсчитаем их количество в исходном наборе: число 1 встречается 9 раз, число 4 — 2 раза, и число 6 — 1 раз. Общее число благоприятных исходов $m = 9 + 2 + 1 = 12$. Вероятность того, что выбранное число не является простым, равна: $P(\text{не простое}) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$