Номер 49.12, страница 299, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.12. Каждый из 30 учеников умный или красивый. Красивых учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом выше 180 см.

а) Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см?

б) Каков ответ в пункте а), если известно, что все умные, но не красивые — ростом не выше 180 см?

в) Каков ответ в пункте а), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см?

г) Каков ответ в пункте а), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см?

Для решения задачи введем обозначения для множеств учеников:

• $N$ — общее число учеников, $N=30$.
• $У$ — множество умных учеников, $|У|=24$.
• $К$ — множество красивых учеников, $|К|=26$.
• $В$ — множество учеников ростом выше 180 см, $|В|=14$.

По условию, каждый ученик является умным или красивым, это означает, что объединение множеств $У$ и $К$ включает всех учеников:

$|У \cup К| = 30$

Сначала найдем количество учеников, которые являются и умными, и красивыми, то есть размер пересечения множеств $У$ и $К$. Используем формулу включений-исключений:

$|У \cup К| = |У| + |К| - |У \cap К|$

$30 = 24 + 26 - |У \cap К|$

$30 = 50 - |У \cap К|$

$|У \cap К| = 50 - 30 = 20$

Итак, 20 учеников одновременно и умные, и красивые.

Также найдем количество учеников в других группах:

• Только умные (умные, но не красивые): $|У \setminus К| = |У| - |У \cap К| = 24 - 20 = 4$ ученика.
• Только красивые (красивые, но не умные): $|К \setminus У| = |К| - |У \cap К| = 26 - 20 = 6$ учеников.

Проверка: $20$ (и умные, и красивые) $+ 4$ (только умные) $+ 6$ (только красивые) $= 30$ учеников. Все сходится.

Нам нужно найти минимально возможное число учеников, обладающих всеми тремя свойствами, то есть минимальный размер пересечения $|У \cap К \cap В|$.

Мы знаем, что учеников, которые одновременно умные и красивые ($У \cap К$), — 20 человек. А учеников ростом выше 180 см ($В$) — 14 человек. Общее число учеников — 30.

Чтобы найти минимальное количество учеников, принадлежащих обоим этим множествам ($У \cap К$ и $В$), воспользуемся формулой для минимального пересечения:

$| (У \cap К) \cap В |_{min} = |У \cap К| + |В| - N = 20 + 14 - 30 = 4$

Это означает, что как минимум 4 ученика должны обладать всеми тремя характеристиками. Чтобы это проверить, можно рассуждать от противного. Предположим, что tall-студентов, которые не являются "умными и красивыми", максимальное количество. Группа "не умных и красивых" состоит из "только умных" (4) и "только красивых" (6), итого 10 человек. Из 14 высоких учеников максимум 10 могут быть из этой группы. Следовательно, оставшиеся $14 - 10 = 4$ высоких ученика обязаны быть из группы "умные и красивые".

Ответ: 4

Это новое условие означает, что 4 ученика из группы "только умные" ($У \setminus К$) не входят в группу высоких ($В$).

Всего высоких учеников 14. Они могут принадлежать к одной из трех непересекающихся групп: "только умные", "только красивые" или "и умные, и красивые".

По новому условию, высокие не могут быть в группе "только умные". Значит, 14 высоких учеников распределены между группами "только красивые" ($|К \setminus У|=6$) и "и умные, и красивые" ($|У \cap К|=20$).

Чтобы найти гарантированное (минимальное) число высоких в группе "и умные, и красивые", мы должны предположить, что максимальное возможное число высоких находится в группе "только красивые". В этой группе 6 человек, значит, максимум 6 из них могут быть высокими.

Тогда оставшиеся высокие ученики обязаны быть в группе "и умные, и красивые". Их число составит:

$14 - 6 = 8$

Следовательно, как минимум 8 учеников являются умными, красивыми и высокими.

Ответ: 8

Новое условие гласит, что все 6 учеников из группы "только красивые" ($К \setminus У$) являются высокими.

Всего высоких учеников 14. Из них 6 мы уже "разместили" в группе "только красивые".

Остается $14 - 6 = 8$ высоких учеников. Эти 8 человек должны быть распределены между оставшимися двумя группами: "только умные" ($|У \setminus К|=4$) и "и умные, и красивые" ($|У \cap К|=20$).

Чтобы найти минимальное число высоких в группе "и умные, и красивые", мы должны предположить, что максимальное их число находится в группе "только умные". В этой группе 4 человека, значит, максимум 4 из них могут быть высокими.

Тогда оставшиеся высокие ученики обязаны быть в группе "и умные, и красивые". Их число:

$8 - 4 = 4$

Таким образом, гарантированно 4 ученика являются умными, красивыми и высокими.

Ответ: 4

Это условие означает, что размер пересечения множеств умных и высоких равен 12: $|У \cap В| = 12$.

Нам нужно найти гарантированное число учеников, которые являются умными, красивыми и высокими, то есть $|У \cap К \cap В|$. Это то же самое, что найти, сколько учеников из группы "умные и высокие" ($У \cap В$) также являются красивыми.

У нас есть группа из 12 учеников, которые умные и высокие. Сколько из них гарантированно красивые? Для этого найдем, сколько из них максимально могут быть *не красивыми*.

Ученики, которые не являются красивыми, — это группа "только умные" ($У \setminus К$). Мы знаем, что таких учеников всего 4.

Значит, из 12 умных и высоких учеников максимум 4 могут быть некрасивыми. Остальные обязаны быть красивыми.

Минимальное число красивых среди 12 умных и высоких составляет:

$12 - 4 = 8$

Следовательно, гарантированно 8 учеников являются умными, красивыми и высокими.

Ответ: 8